Courbure d’une ligne courbe (espace à deux dimensions)

La courbure d’une ligne courbe est définie comme celle du cercle qui touche de près la courbe au point d’intérêt. Il s’agit du cercle « tangent » à la courbe plane au point considéré, encore appelé cercle osculateur, du latin osculare, embrasser. Le rayon de courbure d’une courbe en un point donné est simplement le rayon du cercle osculateur au niveau de ce point (Fig. 4.1). La courbure indique la propension locale de la courbe à se comporter comme un cercle de plus ou moins grand rayon.

Fig. 4.1 La courbure en un point d’une courbe (ici en bleu clair) est inversement proportionnelle au rayon du cercle qui « épouse » la courbe au point considéré : le cercle osculateur (lat. osculatus : caressé).

La courbure en p₁ et en p₂ est égale à l’inverse du rayon des cercles tangents à ces deux points (respectivement centrés en C₁ et en C₂). Si cette courbe représentait un méridien cornéen, la courbure étudiée ici correspondrait à la courbure dite « tangentielle » (ou instantanée).

Le cercle est une courbe remarquable, dont la courbure est en tout point égale ; le cercle osculateur à un cercle en tout point est ce cercle lui-même ! Plus le cercle est petit, plus sa courbure plus élevée. De fait, plus le rayon de courbure est court, plus la courbure est forte, et inversement. La longueur du rayon du cercle osculateur est inversement proportionnelle à la valeur de la courbure. Une ligne droite possède une courbure dont le rayon local est partout infini.

Courbure d’une surface (espace à trois dimensions)

Par extension avec la courbure d’une courbe (rayon du cercle osculateur), la courbure d’une surface courbe déployée dans un espace tridimensionnel est définie par le rayon de courbure de la sphère osculatrice au point considéré de cette surface (Fig. 4.2). En topographie cornéenne, cette approche n’est pas ou peu utilisée à des fins cliniques, sauf dans le mode dit « courbure moyenne ».

Fig. 4.2 Courbure d’une surface dans un espace à trois dimensions : la courbure est donnée en chaque point par le rayon R de la sphère osculatrice.

La sphère osculatrice au sommet de la surface bleue est représentée ici en rose. Le rayon de courbure apical est donc celui de la sphère osculatrice au sommet S.

Les modes habituels de représentation en courbure (ex : mode axial, mode tangentiel) correspondent plutôt à la représentation de la courbure locale de courbes engendrées par l’intersection de la surface cornéenne avec un plan de coupe dont la direction est prédéfinie.

De ce fait, la courbure locale des surfaces bidimensionnelles courbées dans un espace tridimensionnel (tel que la surface cornéenne) peut être mesurée le long d’un plan quelconque, à condition que celui-ci soit perpendiculaire à la surface au point d’intérêt. Ces plans se recoupent tous selon la direction dite « normale » (perpendiculaire) à la surface au point considéré.

La courbure peut varier en fonction de la direction du méridien contenu par le plan perpendiculaire le long duquel elle est mesurée (Fig. 4.3). Ce n’est que dans le cas d’une sphère que le rayon de courbure est égal au rayon d’une sphère en tout point de la surface sphérique, et ce quelle que soit la direction du plan de coupe (Fig. 4.4).

Fig. 4.3 En tout point O d’une surface courbe non sphérique, la courbure varie selon la direction de coupe.

Il existe au point O considéré une infinité de courbures, dont les valeurs sont comprises entre celles des courbures extrêmes. Les deux courbures extrêmes en chaque point sont sur des directions de coupes perpendiculaires. Les directions de coupe extrêmes sont surlignées en bleu et rouge au niveau de leur intersection avec la surface mesurée. Une direction de courbure intermédiaire a été représentée avec son plan de coupe et soulignée en pointillés verts au niveau de l’intersection avec la surface. La courbure correspond à l’inverse du rayon du cercle osculateur situé dans le plan de la direction considérée pour sa mesure (représenté ici pour la courbure explorée dans le plan de coupe souligné en bleu).

Fig. 4.4 Une calotte parfaitement sphérique est représentée en bleu de ¾ et de profil.

Quelle que soit la direction de mesure de la courbure en un point donné, celle-ci est constante ; et égale à celle de la sphère. Ceci est vrai pour tous les points de la calotte sphérique.

Par conséquent, pour déterminer la courbure d’une surface tridimensionnelle qui n’est pas sphérique, comme une cornée, des plans de mesure doivent être choisis. Ces plans coupent la surface au point de mesure ; l’intersection de chaque plan avec la courbe est une courbe : on est alors ramené à l’étude de la courbure d’une ligne courbe. Rappelons qu’une moyenne effectuée entre des mesures de courbure réalisées le long des plans de coupe fournirait une valeur moyenne pour la courbure locale d’une surface. La courbure moyenne en un point d’une surface correspond par exemple à la moyenne (arithmétique ou géométrique) entre les valeurs minimale et maximale mesurées en ce point ; elle se rapproche de la véritable définition mathématique de la courbure d’une surface tridimensionnelle (le rayon moyen est proche de celui de la sphère osculatrice). Cette approche est toutefois peu usitée en clinique ; la courbure de la surface est mesurée le long de directions particulières.

Application topographique

La notion de choix de direction de mesure est importante pour comprendre les différences entre les représentations en modes de courbure dite « axiale (ou sagittale) » et « tangentielle (ou instantanée) », et leurs limites respectives [1]. La Fig. 4.5 montre un exemple de carte en mode tangentiel : un méridien horizontal (choisi arbitrairement) a été souligné en bleu. Les chiffres en mm se rapportent à la valeur du rayon de courbure local, c’est-à-dire à des points mesurés arbitrairement.

Fig. 4.5 La courbure instantanée ou tangentielle explore la courbure le long des méridiens, dans une direction « radiaire », qui va du vertex vers la périphérie.