1 Variable qualitative nominale

Une variable qualitative est dite nominale quand les modalités de la variable ne sont pas hiérarchisées ou ordonnées. Le groupe ABO vu précédemment est un exemple de variable nominale, de même que la couleur des yeux (si l’on se limite à des grandes catégories).

Parfois les modalités sont ordonnées suivant un classement alphabétique ou numérique pour des raisons pratiques, par exemple le code postal de la commune de naissance ou le numéro de groupe de travaux dirigés d’un étudiant.

2 Variable qualitative binaire

Une variable binaire est une variable qualitative à deux modalités. On parle aussi de variable dichotomique. De nombreuses informations sont représentées par ce type de variable, par exemple le succès ou l’échec d’un traitement, la présence ou l’absence d’un signe. Les deux modalités sont souvent codées 0 et 1, le 1 étant utilisé par convention pour la modalité d’intérêt. Par exemple, pour évaluer l’efficacité d’un traitement, on codera 1 le succès et 0 l’échec. En revanche, pour coder un effet secondaire du traitement, le 1 correspondra à sa présence, 0 à son absence.

3 Variable qualitative ordinale ou semi-quantitative

Une variable ordinale est une variable qualitative dont les modalités sont reliées par une relation d’ordre. Ce type de variable est souvent utilisé pour caractériser des phénomènes complexes et subjectifs représentant la sévérité d’un symptôme, comme la douleur, ou la gravité d’une maladie.

1 Variable quantitative continue

On parle de variable continue quand celle-ci peut prendre une quantité indénombrable de valeurs entre deux valeurs données. Par exemple, il existe une quantité indénombrable de tailles intermédiaires possibles entre deux individus mesurant exactement respectivement 1,79 m et 1,80 m. Même si cela est vrai d’un point de vue théorique, les instruments de mesure ne permettent pas en général d’accéder à l’ensemble de ces valeurs intermédiaires. Par exemple, la mesure de la taille au moyen d’une toise ne permet guère de descendre en dessous du quart de cm, soit trois valeurs intermédiaires entre 1,79 m et 1,80 m.

2 Variable quantitative discrète ou discontinue

À la différence d’une variable continue, une variable discrète ne peut prendre que certaines valeurs, le plus souvent séparées par un intervalle fixe. Prenons l’exemple de la durée d’hospitalisation d’un patient, elle est le plus souvent exprimée en journées entières d’hospitalisation et non pas en jours, heure, minute, seconde, car cette information supplémentaire n’a pas ici d’intérêt. C’est donc souvent l’instrument de mesure (ou la manière de l’utiliser) qui rend une mesure continue discrète. Reprenons l’exemple du temps, s’il est mesuré avec une montre indiquant uniquement les heures et les minutes, celui-ci sera discrétisé par rapport à une mesure avec un chronographe indiquant le temps au centième de seconde.

3 Variable de comptage

On parle de variable de comptage quand la variable représente la valeur d’un processus de comptage. Elle est par nature discrète et bornée à 0. Là aussi, les exemples sont nombreux, cela peut être le nombre de cas d’une pathologie infectieuse (choléra, grippe A…), une numération cellulaire (nombre de globules blancs basophiles dans une numération-formule sanguine). Bien souvent ce nombre est rapporté à une unité de mesure ou à un autre nombre, par exemple le nombre de cellules sera exprimé par mm³ de sang ou un nombre de cellules tumorales sera rapporté au nombre de cellules normales sous la forme d’un pourcentage.

1 Description d’une série statistique

La première étape de la description d’une série consiste souvent à énumérer les valeurs distinctes de la série. Dans le cas des variables qualitatives, il s’agit simplement des modalités de la variable. Dans le cas quantitatif, cette énumération est facilitée pour les variables discrètes du fait qu’elles sont déjà constituées de valeurs distinctes. En revanche dans le cas continu, il est le plus souvent nécessaire de regrouper les valeurs en classes. Cette opération s’appelle la discrétisation. Enfin si le nombre de classes ou de modalités est trop important, il est parfois nécessaire de procéder à des regroupements de classes.

2 Discrétisation d’une variable quantitative

On discrétise une variable quantitative en découpant son domaine de variation en classes définies par des intervalles de valeur sans discontinuité ni chevauchement. L’amplitude d’un intervalle est définie par la différence entre ses bornes supérieure et inférieure. La convention généralement adoptée est d’inclure la borne inférieure et d’exclure la borne supérieure de l’intervalle. Aux extrémités, les bornes des séries sont généralement définies de façon arbitraire de façon à inclure l’ensemble des valeurs de la série.

3 Effectif

L’effectif total nommé n est le nombre total d’observations de la série. De la même façon, on définit l’effectif de la classe ou modalité i, n_i comme le nombre d’observations de la série appartenant à la classe i.

L’effectif cumulé de la classe ou modalité i, N_i est défini comme le nombre d’observations de la série appartenant aux classes inférieures ou égales à i :

Notez que la notion d’effectif cumulé n’est interprétable que si la variable est ordonnée et que pour une série à k classes ou modalités, l’effectif cumulé de la k^ième classe est égal à l’effectif total. En effet :

4 Fréquence

La fréquence d’une classe est définie comme la proportion d’observations appartenant à la classe ou modalité i par rapport à l’effectif total :

La fréquence cumulée de la classe ou modalité i est, quant à elle, définie comme la somme cumulée des fréquences des classes j inférieures ou égales à i :

Cela correspond aussi à la proportion d’observations de la série appartenant aux classes inférieures ou égales à i. Comme pour les effectifs cumulés, les fréquences cumulées ne sont interprétables que si la variable est ordonnée. On peut par ailleurs remarquer que la fréquence cumulée de la dernière classe est égale à 1. En effet :

Les fréquences peuvent être exprimées aussi sous forme de pourcentages en multipliant par 100 la fréquence correspondante. La fréquence cumulée de la dernière classe est donc par définition de 100 %. À noter que le terme anglo-saxon frequency est un faux-ami du terme français car sa traduction est en fait effectif.

5 Densité

La notion de densité n’a réellement de sens que dans le cas des variables quantitatives. On définit la densité d_i d’une classe i comme le rapport de la fréquence de la classe sur l’amplitude de l’intervalle définissant cette classe :

Globalement la densité est inversement proportionnelle à l’amplitude de la classe. Si deux classes ont les mêmes fréquences, mais que l’une a une amplitude deux fois plus grande, alors la densité de cette classe sera aussi deux fois plus faible. Si toutes les classes ont la même amplitude, alors il existe une proportionnalité entre effectifs, fréquences et densités associés à chaque classe.

6 Tableau de répartition

Le tableau de répartition est un tableau regroupant les effectifs et les fréquences par modalité ou par classe. Si la variable est ordonnée, on peut rajouter les effectifs et les fréquences cumulées. Si la variable est quantitative, on peut y faire figurer les densités. À titre d’exemple, les tableaux de répartition A et B pour les variables sexe et âge de la figure 9.2 ont été créés à partir du tableau de données de la figure 9.1.

7 Tableau de contingence

Le tableau de contingence généralise la notion de tableau de répartition à plus d’une variable. On parle de tableau à double entrée quand cela concerne un couple de deux variables. Le principe est alors de ventiler les observations dans les classes définies par le croisement des modalités ou des classes respectives des deux variables. Il en résulte que le nombre de classes obtenues est le produit du nombre de classes ou de modalités de chaque variable du couple. Cette opération de ventilation est appelée tri croisé.

D’un point de vue contenu et organisation, peuvent figurer dans le tableau les effectifs (fig. 9.3A), les fréquences (fig. 9.3B) et les fréquences conditionnelles (fig. 9.4). Le tableau lui-même est organisé en trois parties, la partie conjointe et les marginales lignes et colonne. Par convention, la première variable du couple définit les lignes du tableau et la seconde, les colonnes. Les fréquences conjointes sont obtenues en divisant l’effectif correspondant par le nombre total d’observations n. Les marginales s’obtiennent en faisant le total ligne ou colonne correspondant. À noter que ces marginales sont simplement les effectifs et fréquences obtenus dans les tableaux de répartition.

Les tableaux de contingence portant sur les fréquences conditionnelles sont l’application du concept de probabilité conditionnelle reliant probabilités conditionnelles, conjointe et marginale suivant la relation P(A ∩ B) = P(AB) · P(B). L’idée est de conditionner les fréquences conjointes par les marginales correspondantes. Supposons que l’on veuille obtenir les fréquences conditionnelles de X conditionnellement à Y (fig. 9.4), les fréquences conditionnelles de XY s’obtiennent alors en divisant les fréquences conjointes par les fréquences marginales correspondantes de Y. Une autre façon de comprendre ces fréquences conditionnelles est de remarquer qu’elles correspondent aux fréquences de X obtenues en limitant l’échantillon à la classe correspondante de Y, c’est-à-dire l’effectif conjoint divisé par l’effectif marginal de Y. Ces relations impliquent que la somme des fréquences conditionnelles de XY par rapport à une modalité de Y est égale à 1.

À titre d’exemple (fig. 9.5), les différents types de tableaux de contingence ont été calculés à partir des données de la figure 9.1. On peut vérifier que les marginales des deux premiers tableaux correspondent aux effectifs et fréquences des tableaux de répartition correspondants, ainsi que les propriétés des fréquences conditionnelles dans les tableaux C et D de la figure 9.5.

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