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Lois de probabilités continues

I. Variables aléatoires continues

II. Lois de probabilités continues « célèbres »

I Variables aléatoires continues

Lors du chapitre précédent, nous avons défini la notion de fonction de répartition pour une variable aléatoire discrète par la fonction F_X définie de dans l’intervalle [0 ; 1] :

Cette définition se généralise à n’importe quelle variable aléatoire réelle, discrète ou non.

Définition

Une variable aléatoire est continue si sa fonction de répartition F_X est continue quel que soit x.

Conséquence

Une variable aléatoire X continue a pour domaine de réalisation l’ensemble ou un intervalle de l’ensemble .

Exemple 7.1

Le poids d’un individu est une variable aléatoire qui peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle de ⁺.

Propriétés

La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes :

• continuité ;

• 0 ≤ F_X(x) ≤ 1 (par définition) ;

• croissante au sens large : si a ≤ b alors F_X(a) ≤ F_X(b) ;

•  et .

Ces propriétés sont identiques à celles des variables aléatoires discrètes à l’exception de la continuité.

Propriétés

Si X est une variable aléatoire continue et ∀ (a, b) avec a < b et ∀ x :

• P(a < X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a) ;

• P(X = x) = 0 ;

• P(X ≤ x) = P(X < x) ;

• P(X ≥ x) = P(X > x).

Définition

On appelle quantile d’ordre p de la variable aléatoire X la valeur x_p telle que F_X(x_p) = p.

A Loi de probabilité : densité de probabilité

Pour simplifier les écritures, « densité de probabilité » est notée ddp.

Définition

On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X toute ayant les propriétés suivantes :

• ∀ x f_X(x) ≥ 0 ;

• f_X est une fonction intégrable et .

Fig. 7.1 Exemple de ddp d’une variable aléatoire continue.

Une densité de probabilité d’une variable aléatoire continue n’est pas forcément continue…

Exemple 7.2

Vérifier que la fonction f_X est une densité de probabilité d’une variable aléatoire X continue :

Fig. 7.2 Représentation graphique de f_X(x).

• ∀ x f_X(x) ≥ 0 ;

• f_X est une fonction intégrable :

Fig. 7.3 ddp de l’exemple 7.2.

Propriété

La fonction de répartition et la densité de probabilité de la variable aléatoire X sont liées par les relations :

•  où x est une valeur et t une variable muette ;

• f_X(x) = F_X′(x) si F_X est dérivable.

Ce type d’intégrale a déjà été introduit dans le chapitre 2 (§ II.C).

Fig. 7.4 F_X(x) correspond à l’aire sous la courbe de la densité de probabilité f_X de − ∞ à x.

Exemple 7.2

• Si x ≤ 0 

• Si 0 ≤ x ≤ 1  (voir chapitre 2 § Relation de Chasles).

• Si x ≥ 1 

D’où P(0,3 < X ≤ 0,8) = F_X(0,8) − F_X(0,3) = 0,8 − 0,3 = 0,5.

Fig. 7.5 Représentation de F_X(x) de l’exemple 7.2.

B Paramètres caractéristiques

Définition

L’espérance de la variable aléatoire continue X de densité de probabilité f_X est donnée par (si cette intégrale existe) :

Propriétés

Soient X et Y deux variables aléatoires, soient a et b deux réels :

• E(a) = a ;

• E(aX + b) = aE(X) + b ;

• E(X + Y) = E(X) + E(Y) ;

• E(X − Y) = E(X) − E(Y).

L’espérance est donc un opérateur linéaire.

Les propriétés de l’espérance sont identiques à celles rencontrées pour les variables aléatoires discrètes.

Exemple 7.2

Définition

Le moment d’ordre r d’une variable aléatoire continue X est défini par (si cette intégrale existe) :

L’espérance E(X) est un moment d’ordre 1.

E(X²) est un moment d’ordre 2.

Définition

La variance d’une variable aléatoire continue X est définie comme le moment d’ordre 2 de la variable aléatoire continue centrée X − E(X) :

•  (si l’intégrale existe) ;

• V(X) = E(X²) − [E(X)]² d’après la formule de König.

La variance V(X) est aussi notée σ²(X).

Propriétés

Soit X une variable aléatoire et soit a un réel :

• V(X) ≥ 0 ;

• V(a) = 0 ;

• V(aX) = a²V(X) ;

• V(X + a) = V(X).

Les propriétés de la variance sont identiques à celles rencontrées pour les variables aléatoires discrètes (voir chapitre 6).

Exemple 7.2

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