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Lois de probabilités discrètes
Associer à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire un nombre réel permet de définir une variable aléatoire réelle. Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule (par exemple X), les valeurs prises par cette variable aléatoire ou réalisations sont notées par des lettres minuscules (par exemple, x1, x2, …, xn). L’événement « X prend la valeur xi » est noté X = xi.
I Variables aléatoires discrètes
A Définition d’une variable aléatoire discrète
L’ensemble des réalisations de X, noté X(Ω), peut être, avec xi < xi+ 1 :
• dénombrable fini : X(Ω) = {x1, x2, …, xn} (appellation : X discrète finie) ;
• dénombrable infini : X(Ω) = {x1, x2,…} (appellation : X discrète infinie).
B Loi de probabilité
Définition
À chacune des réalisations xi de la variable aléatoire X est associée une probabilité :
, pour un ensemble dénombrable fini ou
, pour un ensemble dénombrable infini.La loi d’une variable aléatoire peut se résumer par un tableau de correspondance (tableau 6.I).
Il est à remarquer que : ∀ x ≠ xi P(X = x) = 0 = P(ø).
La représentation graphique d’une variable aléatoire discrète est un diagramme en bâtons pour lequel, à chaque réalisation xi de la variable aléatoire X, est associé un bâton dont la hauteur correspond à P(X = xi).
Exemple 6.1
Supposons que la probabilité d’avoir une insuffisance rénale soit de 0,1 d’où :
| P(Y = 1) = 0,1 et | P(Y = 0) = 1 − P(Y = 1) = 1 − 0,1 = 0,9. |
Son tableau de correspondance est le suivant.
Sa représentation graphique en diagramme en bâtons (fig. 6.1).
C Fonction de répartition
Définition
La fonction de répartition associée à la variable aléatoire réelle X est la fonction, notée FX, définie de 
dans l’intervalle [0 ; 1] par :
Afin de parcourir la totalité de 
, utilisons l’aide graphique (fig. 6.3) avec x1 < x2 < … < xn.
Sa représentation graphique est donc une fonction en escalier (voir chapitre 1) (fig. 6.4).
FX(x) = 0
FX(x) = P(X = x1) = p1
FX(x) = p1 + p2
De cette représentation graphique, on en déduit quelques propriétés sur la continuité :
;• discontinuité à gauche en chaque réalisation xi de la variable aléatoire admettant une probabilité de réalisation non nulle (c’est-à-dire valeur pour laquelle la fonction de répartition « saute »).
Chaque saut de la fonction de répartition a donc pour hauteur la dernière probabilité sommée.
et 
.
Pourquoi ? De la figure 6.8, on en déduit la propriété.
D’où : P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = FX(b) − FX(a).
