Chapitre 5 Oscillations mécaniques

L’ESSENTIEL

Pendules simples

Un pendule simple est constitué d’une masse m, considérée comme ponctuelle, accrochée à un fil inextensible de masse négligeable devant m, suspendu à un point fixe O. On étudie les variations de l’écart angulaire θ, angle entre la direction du fil et la verticale (position d’équilibre).

Les frottements sont supposés négligeables.

Étude dynamique

Référentiel terrestre supposé galiléen.

Système : la masse m.

Bilan des forces :

– le poids

– la tension du fil.

Repère de Frenet :

La deuxième loi de Newton appliquée à la masse m s’écrit :

Remarque : l’équation obtenue est bien la même en montée qu’en descente.

– La figure représente un mouvement en montée avec et

En projection suivant :

– Pour un mouvement en descente, θ diminue donc

Équation du mouvement dans le cas des petits angles

Pour les petits angles, sin θ ≈ θ rad.

L’angle θ_m (en radians) est l’amplitude du mouvement.

L’angle ϕ (en radians) est la phase à l’origine : θ₀ = θ_m sinϕ.

La période des oscillations (oscillations isochrones pour de faibles amplitudes).

La vitesse : .

Unités (SI) : la vitesse v est en m·s⁻¹ et la vitesse angulaire en rad˙s⁻¹.

La pulsation ω est « lue » sur l’équation différentielle, tandis que les deux constantes d’intégration θ_m et ϕ sont déterminées grâce à deux conditions initiales.

Bilan énergétique

Énergie potentielle

E_p=mgz+E_p0.

L’axe O’z est vertical orienté vers le haut et son origine O’ coïncide avec la position à l’équilibre :

z = O’H = l – l cos θ et on choisit E_p0 = 0 ⇒ E_p = mgl (1 – cos θ).

Si l’angle θ est assez petit pour justifier cos alors .

Par exemple, dans le cas où θ = θ₀ cos ωt, alors :.

Énergie cinétique

D’où : .

Énergie mécanique

Les frottements étant négligeables, il y a bien conservation de l’énergie mécanique.

Périodicité des énergies

La période T’ des énergies est égale à la demi-période T des oscillations car :

Pendules élastiques, ou ressorts

Ressort : spirale formée à l’aide d’un fil plus ou moins souple.

Longueur à vide ou longueur libre l₀ : longueur naturelle (sans action extérieure).

Force de rappel : .

:

– si : le ressort est comprimé ;

– si : le ressort est étiré.

Le facteur de proportionnalité k est la constante ou la raideur du ressort.

Ressort horizontal sans frottement

Une masse m assimilée à son centre de gravité G est accrochée à l’extrémité mobile d’un ressort horizontal de raideur k. La position d’équilibre correspond ici à la longueur à vide.

Étude du mouvement

Référentiel terrestre supposé galiléen.

Système : la masse ponctuelle m.

Bilan des forces :

– le poids

– la réaction du support ;

– la force de rappel du ressort.

La deuxième loi de Newton s’écrit : .

En projection suivant l’axe Ox, on obtient : avec la pulsation .

Le mouvement est rectiligne sinusoïdal de période .

La solution est de la forme : x(t) = x_m cos (ωt + ϕ).

L’argument du cosinus Φ = ωt + ϕ et la phase à l’origine ϕ sont en radians, x et x_m en mètres.

Étude énergétique

On suppose : x(t) = x₀ cos (ωt) avec .

Énergie cinétique

Énergie potentielle

, avec l’énergie potentielle de pesanteur E_pp=0 et l’énergie potentielle élastique

Énergie mécanique

La conservation de l’énergie mécanique (frottements négligeables) permet :

d’obtenir directement :E_m = E_m0 = E_c0 + E_p0, d’où : ;

et de retrouver l’équation différentielle du mouvement en écrivant que :

Ressort vertical sans frottement

Étude du mouvement

Ressort à vide : longueur l_0.

Équilibre avec une masse m :.

Oscillations de part et d’autre de la position d’équilibre (origine O de l’axe vertical z’z) : .

Étude énergétique

L’énergie mécanique E_m en un point z quelconque s’écrit : E_m=E_c+E_pp+ E_pél.

On choisit l’origine de l’axe (z’z) comme niveau de référence des énergies potentielles de pesanteur :

Associations de ressorts

Ressorts en série

Pour deux ressorts de raideur k₁ et k₂ montés en série : ou .

Ressorts en parallèle

Pour deux ressorts en parallèle : k_p = k₁ + k₂.

Phénomène de résonance

Soit un système oscillant, le résonateur, de fréquence propre f₀, est obligé d’osciller à la fréquence f d’un autre système oscillant, l’excitateur.

Lorsque f ≈ f₀, l’amplitude des oscillations forcées du résonateur est maximale : c’est le phénomène de résonance.

L’acuité de la résonance dépend de l’amortissement :

résonance aiguë si résonateur très peu amorti (courbe 1) ;

résonance floue si résonateur peu amorti (courbe 2) ;

résonance très floue si résonateur très amorti ; (courbe 3).

La fréquence de résonance est d’autant plus petite que l’amortissement est grand.

S’ENTRAÎNER

QCM

Selon les questions, une ou plusieurs bonnes réponses sont possibles ; seules les réponses entièrement justes seront prises en compte. Sauf indication particulière, le temps pour chaque question est de 3 minutes, correspondant à 1 point par question

Les questions 7, 8, 9,11,13 et 14 sont sans calculatrice.

Deux pendules simples S₁ et S₂ sont tels que la longueur de l’un est le double de celle de l’autre : l₁ = 2 × l₂ = 1 m. Ils oscillent avec des périodes respectives T₁ et T₂.

Laquelle (ou lesquelles) de ces propositions est (sont) vraie(s) ?

A. Pour que T₁ = T₂, il faut accrocher à S₁ une masse m₁ et à S₂ une masse m₂ telle que m₂ = 2 × m₁.

B. Pour que T₁ = T₂, il faut que m₁ = 4 × m₂.

C. Les deux périodes seront toujours différentes.

D. La période de S₂ est T₂ = 1,42 s.

On accroche une masse m = 120 g à un ressort horizontal de constante de raideur k = 20 N·m⁻¹. On écarte ensuite la masse de 6 cm vers la gauche, puis on la laisse osciller librement.

La période des oscillations est :

A. 81 s.

B. 490 ms.

C. 38 ms.

D. 1,0 s.

Un ressort vertical s’allonge de 4 cm en position d’équilibre quand on lui accroche une masse m = 100 g. On déplace vers le bas la masse m d’une longueur de 3 cm à partir de la position d’équilibre choisie comme zéro d’énergie potentielle de pesanteur. Dans cette position, la masse m aura :

A. une énergie potentielle élastique

B. une énergie potentielle élastique

C. une énergie potentielle de pesanteur

D. une énergie potentielle

Une masse m = 200 g est accrochée entre deux ressorts R₁ et R₂ comme indiqué sur la figure. A₁ et A₂ sont les points d’attache des ressorts R₁ et R₂ de constante de raideur respective k₁ = 20 N·m⁻¹ et k₂ = 30 N·m⁻¹. La masse m se déplace sans frottement suivant l’axe x’x. Les deux ressorts sont toujours étirés, à l’équilibre comme en mouvement.

On écarte la masse m de 5 cm vers la droite, puis on la lâche à l’instant t = 0. Les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique dont la constante de raideur est :

A. 24,5 N·m⁻¹.

B. 12 N·m⁻¹.

C. 50 N·m⁻¹.

D. 10 N·m⁻¹.

BERCK

Un ressort attaché à un point fixe soutient une masse m sous le poids de laquelle il s’allonge de 10 cm.

Calculer la période des oscillations harmoniques du système.

A. 0,31 s.

B. 0,63 s.

C. 0,96 s.

D. 1,02 s.

E. 1,12 s.

F. 1,23 s.

ADERF

Un ressort à spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide L₀ = 20 cm, de raideur k = 150 N· m⁻¹, est suspendu verticalement à un point fixe. On attache à son extrémité inférieure un solide S de masse m = 1 kg. Ce solide repose sur un plan horizontal, disposé de sorte que la longueur du ressort à l’équilibre soit L = 10 cm. Les frottements sont négligeables et le ressort se déforme uniquement parallèlement à son axe. On donne : g = 9,81 m·s⁻².

Quelle est la force F exercée par le solide S sur le plan horizontal ?

A. La force F est selon la verticale, dirigée vers le haut, d’intensité 24,8 N.

B. La force F est selon la verticale, dirigée vers le bas, d’intensité 5,2 N.

C. La force F est selon l’horizontale, dirigée vers la droite, d’intensité 5,2 N.

D. La force F est selon la verticale, dirigée vers le haut, d’intensité 5,2 N.

E. La force F est selon la verticale, dirigée vers le bas, d’intensité 24,8 N.

F. Aucune réponse exacte.

CEERRF

Soit un oscillateur élastique horizontal sinusoïdal pour lequel l’équation différentielle du mouvement est du type :

Quand x = 1,0 cm on mesure v _x= 3,0 cm·s⁻¹. Évaluer l’amplitude x_m du mouvement :

A. x_m = 7,6 cm.

B. x_m = 6,5 cm.

C. x_m = 5,4 cm.

D. x_m = 4,3 cm.

E. x_m = 3,2 cm.

SAINT-MICHEL – 2009

Le balancier d’une horloge ancienne est généralement métallique. Si sa température augmente, il se dilate et sa longueur augmente. On assimilera le balancier à un pendule simple.

A. Si la température augmente, la période propre diminue.

B. En été, cette horloge « avance ».

C. En hiver, cette horloge « retarde ».

D. La période de cette horloge maintenue à température constante dans une enceinte, augmente lorsqu’on la transporte du bord de la mer au sommet d’une haute montagne.

AP-HP – 2009

Un pendule simple de masse m = 10 g, de longueur L = 1 m est écarté de sa position d’équilibre d’un angle égal à 8°. On le lâche sans vitesse initiale et on néglige les frottements. Le plan horizontal contenant la position d’équilibre est choisi comme référence de l’énergie potentielle.

On donne cos 8° = 0,99 et g ∼ 10 m·s⁻².

A. La période du pendule est inversement proportionnelle à la racine carrée de sa masse.

B. La vitesse maximale est v_max = (2E_m /m)^1/2 avec E_m énergie mécanique du pendule.

C. L’énergie mécanique vaut E_m = 1 mJ.

D. La vitesse de la masse est égale à la moitié de sa vitesse maximale quand l’énergie cinétique est égale au quart de son énergie mécanique.

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