Chapitre 5 Oscillations mécaniques
L’ESSENTIEL
Pendules simples
Un pendule simple est constitué d’une masse m, considérée comme ponctuelle, accrochée à un fil inextensible de masse négligeable devant m, suspendu à un point fixe O. On étudie les variations de l’écart angulaire θ, angle entre la direction du fil et la verticale (position d’équilibre).
Les frottements sont supposés négligeables.
Étude dynamique
du fil.
La deuxième loi de Newton appliquée à la masse m s’écrit :
Remarque : l’équation obtenue est bien la même en montée qu’en descente.
et 
Équation du mouvement dans le cas des petits angles
Pour les petits angles, sin θ ≈ θ rad.
L’angle θm (en radians) est l’amplitude du mouvement.
L’angle ϕ (en radians) est la phase à l’origine : θ0 = θm sinϕ.
La période des oscillations 
(oscillations isochrones pour de faibles amplitudes).
.Unités (SI) : la vitesse v est en m·s−1 et la vitesse angulaire 
en rad˙s−1.
La pulsation ω est « lue » sur l’équation différentielle, tandis que les deux constantes d’intégration θm et ϕ sont déterminées grâce à deux conditions initiales.
Bilan énergétique
Énergie potentielle
L’axe O’z est vertical orienté vers le haut et son origine O’ coïncide avec la position à l’équilibre :
z = O’H = l – l cos θ et on choisit Ep0 = 0 ⇒ Ep = mgl (1 – cos θ).
Si l’angle θ est assez petit pour justifier cos 
alors 
.
.
.Énergie mécanique
Les frottements étant négligeables, il y a bien conservation de l’énergie mécanique.
Pendules élastiques, ou ressorts
.
:
: le ressort est comprimé ;
: le ressort est étiré.
Ressort horizontal sans frottement
Une masse m assimilée à son centre de gravité G est accrochée à l’extrémité mobile d’un ressort horizontal de raideur k. La position d’équilibre correspond ici à la longueur à vide.
Étude du mouvement
du support ;
du ressort.
La deuxième loi de Newton s’écrit : 
.
En projection suivant l’axe Ox, on obtient : 
avec la pulsation 
.
Le mouvement est rectiligne sinusoïdal de période 
.
La solution est de la forme : x(t) = xm cos (ωt + ϕ).
L’argument du cosinus Φ = ωt + ϕ et la phase à l’origine ϕ sont en radians, x et xm en mètres.
.
;
.
.
ou 
.Phénomène de résonance
Soit un système oscillant, le résonateur, de fréquence propre f0, est obligé d’osciller à la fréquence f d’un autre système oscillant, l’excitateur.
Lorsque f ≈ f0, l’amplitude des oscillations forcées du résonateur est maximale : c’est le phénomène de résonance.
L’acuité de la résonance dépend de l’amortissement :
La fréquence de résonance est d’autant plus petite que l’amortissement est grand.
S’ENTRAÎNER
QCM
Selon les questions, une ou plusieurs bonnes réponses sont possibles ; seules les réponses entièrement justes seront prises en compte. Sauf indication particulière, le temps pour chaque question est de 3 minutes, correspondant à 1 point par question
Les questions 7, 8, 9,11,13 et 14 sont sans calculatrice.
Deux pendules simples S1 et S2 sont tels que la longueur de l’un est le double de celle de l’autre : l1 = 2 × l2 = 1 m. Ils oscillent avec des périodes respectives T1 et T2.
Laquelle (ou lesquelles) de ces propositions est (sont) vraie(s) ?
A. Pour que T1 = T2, il faut accrocher à S1 une masse m1 et à S2 une masse m2 telle que m2 = 2 × m1.
On accroche une masse m = 120 g à un ressort horizontal de constante de raideur k = 20 N·m−1. On écarte ensuite la masse de 6 cm vers la gauche, puis on la laisse osciller librement.
La période des oscillations est :
Un ressort vertical s’allonge de 4 cm en position d’équilibre quand on lui accroche une masse m = 100 g. On déplace vers le bas la masse m d’une longueur de 3 cm à partir de la position d’équilibre choisie comme zéro d’énergie potentielle de pesanteur. Dans cette position, la masse m aura :
Une masse m = 200 g est accrochée entre deux ressorts R1 et R2 comme indiqué sur la figure. A1 et A2 sont les points d’attache des ressorts R1 et R2 de constante de raideur respective k1 = 20 N·m−1 et k2 = 30 N·m−1. La masse m se déplace sans frottement suivant l’axe x’x. Les deux ressorts sont toujours étirés, à l’équilibre comme en mouvement.
On écarte la masse m de 5 cm vers la droite, puis on la lâche à l’instant t = 0. Les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique dont la constante de raideur est :
BERCK
Un ressort attaché à un point fixe soutient une masse m sous le poids de laquelle il s’allonge de 10 cm.
Calculer la période des oscillations harmoniques du système.
ADERF
Un ressort à spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide L0 = 20 cm, de raideur k = 150 N· m−1, est suspendu verticalement à un point fixe. On attache à son extrémité inférieure un solide S de masse m = 1 kg. Ce solide repose sur un plan horizontal, disposé de sorte que la longueur du ressort à l’équilibre soit L = 10 cm. Les frottements sont négligeables et le ressort se déforme uniquement parallèlement à son axe. On donne : g = 9,81 m·s−2.
Quelle est la force F exercée par le solide S sur le plan horizontal ?
CEERRF
Soit un oscillateur élastique horizontal sinusoïdal pour lequel l’équation différentielle du mouvement est du type : 
Quand x = 1,0 cm on mesure v x= 3,0 cm·s−1. Évaluer l’amplitude xm du mouvement :
SAINT-MICHEL – 2009
Le balancier d’une horloge ancienne est généralement métallique. Si sa température augmente, il se dilate et sa longueur augmente. On assimilera le balancier à un pendule simple.
D. La période de cette horloge maintenue à température constante dans une enceinte, augmente lorsqu’on la transporte du bord de la mer au sommet d’une haute montagne.
AP-HP – 2009
Un pendule simple de masse m = 10 g, de longueur L = 1 m est écarté de sa position d’équilibre d’un angle égal à 8°. On le lâche sans vitesse initiale et on néglige les frottements. Le plan horizontal contenant la position d’équilibre est choisi comme référence de l’énergie potentielle.
On donne cos 8° = 0,99 et g ∼ 10 m·s−2.
D. La vitesse de la masse est égale à la moitié de sa vitesse maximale quand l’énergie cinétique est égale au quart de son énergie mécanique.
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