Fonctions de plusieurs variables

I. Définitions

II. Représentations graphiques

III. Dérivées partielles

IV. Différentielles

V. Propagation d’incertitude

VI. Méthode des moindres carrés

I Définitions

A Grandeurs dépendant de deux variables

Les grandeurs biologiques ou physico-chimiques dépendant de plusieurs variables simultanément sont très courantes. Les fonctions d’une variable ne sont pas adaptées à la description de ces grandeurs et l’utilisation des fonctions de plusieurs variables devient nécessaire.

Dans ce chapitre nous définirons les fonctions de plusieurs variables, nous étudierons leurs propriétés et leurs représentations graphiques et nous présenterons leurs applications pratiques au calcul de propagation d’erreur et à la méthode des moindres carrés, qui permet d’ajuster un modèle théorique à une situation expérimentale.

Rappel : une fonction d’une variable est représentée par une courbe dans le plan.

Du point de vue géométrique, une fonction de deux variables est représentée par une surface dans l’espace (fig. 4.1). À chaque point du plan (x, y) correspond une élévation (ou cote) z = f(x, y). Nous verrons dans le paragraphe II. Représentations graphiques (page 105) les différentes possibilités graphiques pour représenter une fonction de deux variables.

Exemple 4.1

Le pH de la solution d’un acide faible de constante d’ionisation K_a dépend des concentrations de sa forme acide y et de sa forme basique .

Fig. 4.1 z = f(x, y).

Il s’agit de l’équation d’Henderson-Hasselbalch ; a = − log K_a = pK_a.

Exemple 4.2

La concentration plasmatique d’un médicament administré par voie orale dépend de la dose administrée x et du temps t : C = f(x, t) = K · x(e^− at − e^− bt).

Le premier exemple du chapitre 1 présentait un modèle voisin plus simple, C(t) = A (e^− st − e^− nt), avec A = Kx.

Ici, K, a et b sont des paramètres constants, seules x et t sont des variables.

B Définition d’une fonction de deux variables

Définition

Une application f définie sur un sous-ensemble E de ² et prenant des valeurs dans est appelée fonction réelle de deux variables :

Ainsi, la fonction f fait correspondre à chaque couple de valeurs (x, y) une valeur f(x, y) :

Exemple 4.3

Soit la fonction f(x, y) = x² + 4xy

Alors f(3 ; 6) = 3² + 4 × 3 × 6 = 81, on peut écrire (3 ; 6) 81.

Au couple de réels (3 ; 6) la fonction f fait correspondre la valeur 81.

C Définition d’une fonction de trois variables

La notion de fonction de deux variables peut bien évidemment être étendue à plusieurs variables.

Exemple 4.4

L’énergie d’interaction U entre deux ions chargés dépend de leurs charges q₁ et q₂ et de la distance r qui les sépare :

f est une fonction des trois variables q₁, q₂ et r.

Il s’agit de la loi de Coulomb, conduisant à une énergie positive, répulsive si les charges sont du même signe, et à une énergie négative, attractive si les charges sont de signes opposés.

Définition

Une application f définie sur un sous-ensemble E de ³ et prenant des valeurs réelles dans est appelée fonction réelle de trois variables :

Exemple 4.5

Soit f(x, y, z) =

Alors f(− 2 ; 3 ; 1) =

La fonction f fait correspondre au triplet de valeurs (−2 ; 3 ; 1) la valeur −1.

Le domaine de définition de cet exemple exclue y + z = 0. Dans les applications biologiques, le domaine de définition peut être encore restreint, non du point de vue mathématique, mais pour que les variables et la fonction gardent un sens physique. Ainsi dans l’exemple 4.2 on limitera à x ≥ 0 et t ≥ 0.

II Représentations graphiques

A Surfaces dans l’espace

Comme nous l’avons déjà vu en introduction, la représentation graphique d’une fonction de deux variables est une surface dans l’espace. Les deux variables correspondent aux axes x et y, la valeur de la fonction donne l’élévation (cote) z.

Exemple 4.6

Soit :

f(x, y) =

Pour chaque valeur de x et y, on peut calculer f(x, y), par exemple :

On obtient ainsi les coordonnées du point (−1 ; −2 ; 0,013) et on procède ainsi pour tous les points du plan (x, y).

Nous nous limiterons ici à la représentation graphique des fonctions de deux variables. En effet, toute représentation graphique se faisant sur les deux dimensions du papier, des techniques particulières sont nécessaires pour pouvoir représenter des fonctions de dimension supérieure ; techniques qui dépassent largement les objectifs de cet ouvrage.

La surface peut être colorée selon la valeur de z afin de mieux visualiser les variations de la fonction.

Figure 4.2, il s’agit de la fonction de Laplace-Gauss à deux dimensions. Voir la courbe en « cloche », la fonction correspondante à une dimension vue au chapitre 1.

Fig. 4.2 f(x, y) = .

Par exemple, il est possible d’utiliser un dégradé de nuances allant des tons sombres pour les valeurs faibles au blanc pour les valeurs élevées (fig. 4.2) ou une palette chromatique telle qu’un spectre de couleurs allant du violet pour les valeurs les plus faibles vers le rouge pour les valeurs les plus élevées (fig. 4.3).

Fig. 4.3 f(D, t) = D(e^− at−e^− bt).

B Projections en deux dimensions

La représentation des surfaces en trois dimensions donne certes une vue d’ensemble de la fonction, néanmoins elle peut être difficile à interpréter, compliquée à tracer et imprécise pour en obtenir des détails. Les représentations les plus répandues sont fondées sur des projections en deux dimensions des surfaces tridimensionnelles.

1 Graphes densité

La première possibilité est le graphe densité : une projection sur le plan (x, y) avec un code couleur qui correspond à la valeur de la fonction. Dans ce cas on utilise le même code couleur que pour la surface, sauf qu’au lieu de tracer la surface (x, y, z) on colorie le plan (x, y) avec la couleur qui correspond à z. Ainsi la couleur de chaque point (x, y) représente la valeur de z = f(x, y). Des nuances d’intensité de gris (ou d’une autre couleur) peuvent être utilisées, de même que des palettes chromatiques de type arc-en-ciel ou autre. La palette est en général représentée à côté du graphique pour permettre de faire la correspondance entre nuances et valeurs.

Exemple 4.7

Le graphe densité de la figure 4.4 correspond à la surface de la figure 4.2 et celui de la figure 4.5 à la surface de la figure 4.3.

La partie claire centrale de la figure 4.4 correspond au sommet de la figure 4.2.

Fig. 4.4 f(x, y) = .

Fig. 4.5 f(D, t) = D(e^− at − e^− bt).

2 Courbes de niveaux

Lorsqu’on parle de contours équidistants on entend équidistants en z et pas dans le plan (x, y).

Une autre représentation de la projection sur le plan (x, y) consiste en un tracé de courbes de niveaux z constants (fig. 4.6). On choisit un nombre de contours à représenter (le plus souvent, mais pas obligatoirement, équidistants) et on trace les courbes paramétriques f(x, y) = constante, où la constante est prise successivement égale aux valeurs de niveaux. Assez souvent, la surface entre les courbes de niveaux constants est coloriée selon une palette de la même manière que le graphe densité (fig. 4.7).

Fig. 4.6 f(D, t) = D(e^− at − e^− bt).

Fig. 4.7 f(D, t) = D(e^− at − e^− bt).

III Dérivées partielles

A Dérivées partielles du premier ordre

Lorsque plusieurs paramètres influencent une grandeur, nous avons vu que cette dépendance s’exprime mathématiquement par une fonction de plusieurs variables. Il est évident alors que la variation de n’importe quelle variable aura une influence sur la valeur de la fonction. On peut se demander quelle influence a exactement chaque variable sur cette fonction. La réponse est apportée en passant par le calcul des dérivées partielles et de la différentielle de la fonction.

1 Dérivées partielles selon x et selon y

Soit f(x, y) une fonction de deux variables définie sur E ⊆ ² et un point A = (x₀, y₀) ∈ E. Alors :

Le symbole se rencontre aussi.

est l’opérateur dérivée partielle et se prononce « d rond ».

Rappel : est l’opérateur dérivée d’une fonction d’une variable.

Exemple 4.8

Soit f(x, y) = − x³ + x · y².

La dérivée partielle de f par rapport à x est calculée en dérivant la fonction par rapport à x en considérant que y est une constante (fig. 4.8) :

Fig. 4.8 Dérivée partielle selon x.

Figure 4.8, pour y fixé disons à une valeur constante y₀, la fonction f décrit un polynôme de degré 3 par rapport à x, qui correspond à la courbe noire f(x, y₀), intersection de la surface de la fonction f(x, y) et du plan y = y₀. C’est cette courbe noire que nous dérivons par rapport à x.

Soit f(x, y) une fonction de deux variables définie sur E ⊆ ² et un point A = (x₀, y₀) ∈ E. Alors :

Définition

Pour x₀ fixe, f(x₀, y) est une fonction d’une seule variable, y.

Si la limite :

existe, alors elle est appelée dérivée partielle de premier ordre de f au point A et est notée :

Le symbole se rencontre aussi.

Exemple 4.9

Reprenons la fonction f(x, y) = − x³ + x · y².

De même, la dérivée partielle de f par rapport à y est calculée en dérivant la fonction par rapport à y en considérant que x est une constante (fig. 4.9) :

Fig. 4.9 Dérivée partielle selon x.

Figure 4.9, pour x fixé disons à une valeur constante x₀, la fonction f décrit un polynôme de degré 2 par rapport à y, qui correspond à la courbe noire f(x₀, y), intersection de la surface de la fonction f(x, y) et du plan x = x₀. C’est cette courbe noire que nous dérivons par rapport à y.