Calcul intégral ou résoudre y′ = f(x)

On étudiera dans ce chapitre la résolution d’équations de type y′ = f(x).

Tout d’abord nous montrerons, sur un exemple, la relation qui existe entre le calcul d’une aire sous la courbe représentative de la fonction f(x) et le calcul intégral. Nous rappellerons les propriétés générales des intégrales et le formulaire de calcul de primitives. Nous traiterons du calcul intégral selon les trois méthodes suivantes : intégration par changement de variable, intégration par parties, intégration de fractions rationnelles en se limitant aux racines réelles pour un dénominateur de deuxième degré. Nous définirons la notion de valeur moyenne d’une fonction. En vue des applications du calcul intégral en probabilités nous étendrons cette notion de calcul intégral lorsque les bornes sont infinies, lorsque la fonction est infinie ou lorsque la fonction est continue par morceaux. Et pour finir nous aborderons le cas de l’évaluation numérique d’une intégrale, très utilisée en pharmacocinétique.

Revenons donc sur la résolution de ces équations de type y′ = f(x).

Dans ce cas on ne connaît pas la fonction y = F(x) mais on connaît sa dérivée y′ = f(x) c’est-à-dire la vitesse de changement de y par rapport à x : on cherche donc la fonction y = F(x) telle que F′(x) = f(x). Cette fonction F(x) dont la dérivée donne f(x) s’appelle une primitive de f(x) : « une » car elle est définie à une constante près et « primitive » signifiant en quelque sorte « à l’origine de ».

Cette situation est très fréquente en biologie :

• par exemple on connaît la vitesse de croissance d’une population d’insectes en fonction du temps et on cherche la fonction p(t) ;

• par exemple on connaît la vitesse de variation d’une concentration plasmatique d’un médicament en fonction du temps C′ = et on veut en déduire la fonction C(t) décrivant la variation de la concentration au cours du temps.

Cette recherche de primitives semble être l’opération inverse de la dérivation. Alors que la dérivation, lorsqu’elle est possible, ne pose pas de difficulté technique, la recherche de primitives peut être plus délicate et parfois même impossible.

Ainsi se pose la question de savoir comment faire cette opération inverse de la dérivée ou encore comment « comment anti-dériver ? »

Tout d’abord une condition doit être respectée : on « anti-dérive » sur un intervalle où la fonction est continue, nous appellerons [a, b] cet intervalle avec a inférieur à b.

Ensuite on appliquera le théorème fondamental du calcul intégral : « calculer une aire sous la courbe représentative de la fonction f(x) continue ou calculer une primitive de f(x) sont deux façons d′« anti-dériver » qui conduisent au même résultat ».

I Exemple introductif

Soit une fonction affine f(x) = 2 + 1. Attention, ici f(x) c’est une dérivée et on veut « anti-dériver » f(x).

On vérifie le théorème précédent sur un intervalle [a, b].

Calculer l’aire délimitée par l’axe des x, la droite représentative de la fonction f(x) = 2x + 1 et les droites verticales x = a et x = b: Cela revient à calculer l’aire du trapèze coloriée en bleu, soit A cette aire.

Aire d’un trapèze :

Rappelons que l’aire d’un trapèze est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur.

Ici on trouve en x = a la première base f(a) = 2a + 1 et en x = b la deuxième base f(b) = 2b + 1.

La hauteur du trapèze est représentée par le segment de longueur b − a.

Fig. 2.1 Aire sous la courbe d’une fonction affine.

A = [(2a + 1) + (2b + 1)](b − a).

A = (a + b + 1)(b − a).

Calculer une primitive F(x) de f(x):

Définition d’une primitive

On rappelle qu’une primitive d’une fonction f(x) (définie sur un intervalle [a, b]), est toute fonction F(x) (dérivable sur [a, b]) telle que F′(x) = f(x) ; par exemple une primitive de f(x) = x^m est la fonction dont la dérivée restitue bien la fonction f(x).

La relation F′(x) = f(x) est vraie quelle que soit la valeur donnée à la constante : on l’appelle « constante arbitraire » et on l’écrira par la suite Cte.

On trouve ici pour f(x) = 2x + 1 une primitive :

F(x) = x² + x + Cte.

On en déduit que

F(b) − F(a) = (b² + b + Cte) − (a² + a + Cte) = (a + b +1)(b − a).

La constante Cte s’élimine car c’est la même puisque c’est la même primitive.

Donc on en déduit :

Proposons une autre présentation: F(x) est l’ensemble des fonctions telles que F(x) = x² + x + Cte.

On choisit dans cet ensemble, la fonction S(x) dont la Cte est telle que S(a) = 0 ⇔ S(a) = a² + a + Cte = 0 ⇔ Cte = − a² − a.

Donc S(x) = x² + x − a² − a.

Alors S(b) = b² + b − a² − a = F(b) − F(a) = (a + b + 1)(b − a)

On représente conventionnellement cette aire sous la courbe en utilisant la notation sur laquelle nous reviendrons.

On complète ainsi la relation précédente :

II Généralisation

Comment généraliser cette propriété si la courbe représentative de f(x) n’est pas une droite ?

A Comment calculer l’aire sous la courbe quand f(x) est quelconque ?

On décompose cette aire en aires élémentaires que l’on somme (on retrouve la lettre S du signe intégral). Pour simplifier le calcul, ces aires élémentaires seront des rectangles, tous de même largeur h (« pas ») constante par convention positive. Les longueurs de ces rectangles seront des valeurs prises par la fonction f(x) successivement en x et x + h. L’aire sous la courbe recherchée sera encadrée par des sommes de rectangles « majorantes » et des sommes de rectangles « minorantes ».

On voit sur la figure 2.2 qu’en suivant le chemin M, N, O, P… on décrit des sommes majorantes de rectangles et qu’en suivant le chemin m, n, o, p… on décrit des sommes minorantes de rectangles : ces deux sommes encadrent bien l’aire sous la courbe de la fonction f(x).

Fig. 2.2 Décomposition de l’aire sous la courbe en rectangles élémentaires.

Si h → 0 c’est-à-dire si le nombre de rectangles de décomposition devient infini, alors cette somme d’aires de rectangles a pour valeur limite l’aire sous la courbe (nous nous placerons dans les cas où cette limite existe, on dit alors que la fonction est intégrable sur l’intervalle [a, b] qui sont les bornes d’intégration).

B Quelle relation existe-t-il entre et les primitives de f(x) ?

• Choisissons un point x variable de l’intervalle [a, b] et définissons la fonction « aire » qui est une fonction de x : . On voit que sous le signe intégral on fait apparaître une nouvelle variable, t qui est la variable selon laquelle on fera la décomposition en rectangles élémentaires.

• L’aire S(x) est délimitée (tracé en rouge) par la droite verticale passant par x = a et par celle passant par x variable (qui appartient à [a, b]), par l’axe des abscisses et par le tracé de la courbe.

• On va montrer que S(x) est la primitive de f(x) (c’est-à-dire que S′(x) = f(x)) qui s’annule en a.

Sur la figure 2.3, les aires quadrillées des rectangles sont les aires hf(t) et hf(t + h). Ces deux aires rectangulaires encadrent l’aire délimitée dans sa partie supérieure par l’arc de courbe souligné en pointillé rouge ; cette aire peut s’évaluer comme étant la différence entre la fonction S(t + h) qui est représentée par l’aire délimitée par les droites verticales passant par x = a et x = t + h et la fonction S(t) qui est représentée par l’aire délimitée par les droites verticales passant par x = a et x = t. On peut donc écrire que la différence des aires S(t + h) et S(t) est encadrée par les aires de deux rectangles hf(t) et hf(t + h) :