On étudie chez des patients atteints d’un cancer hématologique la réponse au traitement (REPONSE) en fonction d’un index pronostique de cette maladie (IP). La réponse au traitement est définie en trois classes en fonction de l’importance de la réponse : « Réponse complète » (RC), « Réponse partielle » (RP) et « Non-réponse » (NoR). La classification pronostique est aussi définie en trois classes notées 1, 2 et 3 et correspondant à un pronostic respectivement favorable, intermédiaire et défavorable. L’analyse de 140 patients donne les résultats suivants

Les différentes sous-populations lymphocytaires peuvent être caractérisées par des marqueurs membranaires. Pour les lymphocytes de type T, les sous-populations CD4 et CD8 sont d’une grande importance dans de nombreuses pathologies tumorales et immunitaires. Le nombre de lymphocytes par mm³ de sang appartenant aux deux sous-populations a été étudié chez un groupe de patients atteints d’un cancer hématologique. Les résultats et les représentations graphiques suivants ont été obtenus

Le volume d’air expiré après une seconde d’effort ou FEV (forced expiratory volume) est un indicateur de la fonction pulmonaire. On dispose des volumes d’air expiré (en litres) par 318 filles âgées de 3 à 20 ans

Après discrétisation par classe de largeur 0,5 L de X, on a le tableau suivant

On donne les résultats suivants : et .¹

Une enquête est menée pour évaluer l’intérêt d’une formation spécifique des internes de pédiatrie à la prise en charge des syndromes de déshydratation aiguë de l’enfant. Pour cela, 25 internes ayant reçu cette formation ont été comparés à 27 internes ne l’ayant pas encore reçue. Les dossiers de 245 enfants arrivant aux urgences avec une suspicion de déshydratation aiguë ont été rétrospectivement analysés sur des critères de pertinence du diagnostic, de la prise en charge thérapeutique et du suivi de l’enfant. Chaque dossier était noté sur seize critères aboutissant à un score de 0 à 16. Sur ces 245 dossiers, 131 correspondaient à une prise en charge par les internes ayant reçu la formation et 114 par les internes n’ayant pas encore reçu cette formation. Les résultats sont les suivants

On étudie la concentration de lactate déshydrogénase (LDH) dans le sang de 100 patients. Les résultats sont exprimés sous la forme d’un rapport entre la valeur mesurée et la borne supérieure des valeurs normales du laboratoire ayant effectué l’analyse Rap_LDH = LDH_mes/LDH_norm. Les résultats sont les suivants

Une étude a été réalisée pour évaluer les performances de l’échographie pour mesurer l’épaisseur des parois artérielles des vaisseaux carotidiens. En effet les axes carotidiens peuvent être le siège de lésions athéromateuses aboutissant à un épaississement des parois. Pour cela, une première expérience a été réalisée sur des « fantômes » de carotide (carotides fictives) dont l’épaisseur des parois mesurait respectivement 0,05 mm, 0,10 mm, 0,20 mm, 0,50 mm et 1 mm. Chaque fantôme a été examiné par six opérateurs différents suivant un protocole qui prévoyait trois mesures à 15 minutes d’intervalle. Toutes les mesures ont été réalisées sur le même échographe

Un atelier de fabrication doit produire des ampoules remplies de 2 mL de soluté injectable. Sur un échantillon de 100 ampoules de soluté injectable, on a mesuré le volume V en mL de soluté injectable réellement contenu dans chaque ampoule. Les paramètres moyenne et écart-type du volume pour la production totale de ces ampoules sont désignés par μ et σ

Calculs intermédiaires :

Nous menons une étude sur le chlorpyrifos, un insecticide organophosphoré fréquemment utilisé en agriculture. Étant donné que cet insecticide est un inhibiteur des cholinestérases, on mesure l’activité de la butyryl cholinestérase plasmatique. On obtient pour seize agriculteurs les valeurs d’activité ci-dessous, notées x_i (i = 1 à 16). On suppose que ces activités suivent une loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ et que les mesures sont indépendantes

3.1. Rappelez la formule de l’intervalle de confiance d’une espérance, lorsque l’écart-type est inconnu, en admettant une distribution gaussienne des valeurs – on note m la moyenne (l’estimation ponctuelle de l’espérance μ), s l’estimation ponctuelle de l’écart-type et n la taille de l’échantillon.

    Dans cet exercice, nous montrerons que cet intervalle possède une propriété intéressante : celle de la largeur minimale.

    On se propose pour cela de construire un autre intervalle en répartissant le risque α de faire confiance à tort de façon asymétrique. On pose α₁ = fα, avec 0 ≤ f ≤ 1 et α₂ = (1 – f)α.

3.2. Montrez que est un intervalle de confiance de μ au risque α, avec t_p le quantile d’ordre p d’une loi de Student à n – 1 degrés de liberté. Quelle est la largeur de cet intervalle ?

3.3. Exprimez cette largeur en fonction de la fonction de répartition d’une loi de Student à n – 1 degrés de liberté. En déduire son expression en fonction de la réciproque de cette fonction de répartition et de f.

3.4. En utilisant la formule donnant la dérivée d’une fonction réciproque (voir chapitre 1), calculez la dérivée de la largeur de l’intervalle en fonction de f.

3.5. On rappelle que la densité de probabilité d’une loi de Student est une fonction paire et que sa fonction de répartition vérifie F(– x) = 1 – F(x), du fait de la symétrie de cette loi (voir chapitre 7). Pour quelle valeur de f la largeur est-elle minimale ? En déduire que l’intervalle de largeur minimale est celui vu en cours.

Lorsque l’on étudie les propriétés d’un médicament, un paramètre important est l’aire sous la courbe (AUC), définie comme l’aire sous la courbe donnant les concentrations plasmatiques C(t) du médicament en fonction du temps (AUC =C(t) dt ; voir aussi chapitre 1). Nous allons nous intéresser dans cet exercice à l’estimation de l’aire sous la courbe moyenne à partir des valeurs estimées sur n patients

L’expérience montre qu’en général, le logarithme des aires sous la courbe suit une loi normale, de paramètres μ et σ.

On réalise la mesure de l’aire sous la courbe chez huit patients ; les résultats sont donnés dans le tableau suivant

En Suisse, pour les malades atteints de cancers de la gorge (5 % des cancers de l’adulte), 40 % présentent un cancer du larynx et 60 % un cancer du pharynx. Une étude est menée en France afin d’estimer ces proportions. En France, sur 1 000 adultes atteints d’un cancer, 45 sont porteurs d’un cancer de la gorge. Parmi eux 18 présentent un cancer du larynx et 27 un cancer du pharynx

Dans un échantillon de 100 personnes examinées, seize étaient obèses

Lors d’un essai clinique visant à étudier l’efficacité d’un vaccin contre la grippe, 30 sujets ont été inclus : 15 dans le groupe recevant le vaccin, 15 dans le groupe recevant un placebo. Dans le groupe placebo, 12 patients ont attrapé la grippe ; dans le groupe vacciné, 7 l’ont attrapée

3.3 Quel est l’intervalle de confiance à 95 % de cette probabilité, et quels sont les commentaires corrects ?

A [0,21 ; 0,72], en arrondissant à deux décimales vers le nombre le plus proche

B L’approximation est satisfaisante, car les conditions en sont vérifiées

C [0,60 ; 1,00], en arrondissant à deux décimales vers le nombre le plus proche

D Les conditions ne sont pas vérifiées : l’intervalle est à prendre avec précaution

E [0 ; 1] puisqu’une probabilité est forcément comprise entre 0 et 1

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