15
Probabilités
ÉNONCÉS
Chapitre 5 – Théorèmes fondamentaux de probabilité
.
.
.QCM
1 Jeu du tapis vert (chapitre 5)
Soient les trois événements suivants :
– A = « Les quatre cartes cochées ont été tirées » ;
– B = « Exactement trois des cartes cochées ont été tirées » ;
– C = « Exactement deux des cartes cochées ont été tirées » .
3 Tests de dépistage (début) (chapitre 5)
est :
Chapitre 6 – Lois de probabilité discrètes
1 Probabilités d’infection (chapitre 6)
1.1. Quand on prend un oiseau de cette espèce dans la réserve quelle est la probabilité π qu’il soit infecté par ce virus ? Quelle est la loi de probabilité de Xi ?
1.2. On supposera que les Xi sont indépendantes et identiquement distribuées (« iid »). Quelle relation existe-t-il entre Xi et Y ? Donnez les paramètres de la loi suivie par Y.
1.3. On désigne par 
la variable aléatoire « Fréquence des infections virales » dans cet échantillon. Donnez les paramètres caractéristiques, espérance et variance, de la distribution de 
. Quelle est la loi de 
?
1.4. Dans une première étude n = 10. Quelle est la probabilité de ne trouver aucun oiseau infecté ? Deux oiseaux infectés ? Au moins deux ? En moyenne combien d’oiseaux infectés s’attend-on à trouver ?
1.5. Si n = 30 peut-on utiliser une approximation par une loi de Poisson ?
1.6. Quel est, en fonction de n, le nombre d’oiseaux infectés le plus probable ?
2 Diagnostic d’épidémie (chapitre 6)
2.1. Pourquoi l’hypothèse d’indépendance entre les enfants peut sembler peu réaliste ?
2.2. On note Xn la variable aléatoire indiquant le nombre d’analyses réalisées en utilisant la deuxième méthode dans une classe de n enfants. Quelles sont les réalisations de cette variable aléatoire Xn ? Déterminez sa loi de probabilité.
2.3. On pose 
. Déterminez la loi de probabilité de Yn et en déduire son espérance.
2.4. Soit la fonction g(x) = ax + ln (x) pour a = ln (0,9) sur ]0, + ∞[. Étudiez g(x). En calculant g(1), g(2), g(33) et g(34), déduisez la liste des entiers pour lesquels, g(n) > 0.
2.5. Montrer que g(n) > 0 équivaut à E(Yn) < 1.
2.6. En déduire une réponse en fonction de n à la problématique posée.
4 Étude de production (chapitre 6)
4.1. Quelle est la probabilité d’avoir n gélules produites par la machine A ? Quelles sont l’espérance et la variance de la variable aléatoire X ?
4.2. Si k et n sont deux entiers naturels, déterminez la loi de probabilité conditionnelle P(Y = k
X = n).
4.3. Si (X = n)n∈ N représente tous les événements possibles, on a pour tout entier k, 
. En calculant la somme partielle :
et en utilisant le résultat 
, montrez que Y suit également une loi de Poisson dont vous donnerez le paramètre.
QCM
1 Probabilités de migraine (chapitre 6)
(0,2)2(0,8)3
(0,2)1(0,8)4
(0,2)1(0,8)4
(0,2)2(0,8)3 + 
(0,2)3(0,8)2 + 
(0,2)4(0,8)1 + (0,2)5)A La loi de Z est une loi binomiale de paramètres n = 40 et π = 0,8
B La loi de Z est une loi binomiale de paramètres n = 40 et π = 0,2
C On peut approcher la loi de Z par la loi normale d’espérance 8 et d’écart-type 6,4
D On peut approcher la loi de Z par la loi normale d’espérance 8 et d’écart-type 
(0 ; 1)
(0 ; 1)
où FU est la fonction de répartition de la loi 
(0 ; 1)2 Un peu de botanique (chapitre 6)
3 Mutations génétiques (chapitre 6)
Dans tout l’exercice, on notera π la probabilité que l’ADN-polymérase choisisse un nucléotide incorrect et N le nombre total de nucléotides que comporte la chaîne à copier.
Pour les applications numériques, on prendra π = 10−8, sauf mention contraire.
On s’intéresse ici à un nucléotide en particulier, par exemple le k-ième nucléotide de la séquence.
On s’intéresse maintenant au nombre moyen d’erreurs qui auront lieu lorsque la totalité d’une chaîne d’ADN, comptant N nucléotides, est dupliquée. On note X la variable aléatoire correspondante ; on numérotera de plus les nucléotides de la chaîne dupliquée de 1 à N.
pour k entier compris entre 0 et N, 0 sinon
pour k entier compris entre 0 et N, 0 sinon
On se demande maintenant après combien de nucléotides apparaîtra, en moyenne, la première erreur, en considérant que l’on peut dupliquer autant de nucléotides que l’on veut. On note Y la variable aléatoire représentant le numéro de ce nucléotide.
En déduire la formule donnant l’espérance de Y et la valeur qu’elle prend pour π = 10−8
4 Alignement de séquences (chapitre 6)
Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de ce score si la séquence alignée est choisie complètement au hasard.
Dans tout l’exercice, on considérera qu’il n’existe que quatre nucléotides possibles dans une séquence nucléique : A, C, G et T. On considérera de plus que la séquence alignée a exactement la même longueur que la séquence de référence : à chaque nucléotide de l’une correspond le nucléotide de l’autre à la même position1.
On ne s’intéresse ici qu’au i-ième nucléotide de la séquence. Le score de ce nucléotide individuel est égal à + 1 si les deux nucléotides à cette position sont égaux, à – 1 s’ils diffèrent.
Soit Si la variable aléatoire égale au score du i-ième nucléotide.
On supposera que les nucléotides sont indépendants les uns des autres, quelles que soient les positions considérées.
la variable aléatoire correspondent à ce score et n le nombre total de nucléotides dans la séquence alignée, supposé connu.
Attention, cette partie ne peut être traitée qu’après avoir travaillé le chapitre 7 sur les lois continues.
et si a et b sont deux réels quelconques, alors aX + b suit une loi normale 
.
1.En d’autres termes, on s’interdit des insertions ou des délétions pour l’alignement.
Chapitre 7 – Lois de probabilité continues
1 Densité de probabilité (chapitre 7)
Soit f la fonction définie sur 
par 
où a et θ sont des réels
1.1. Déterminer la valeur de la constante a telle que la fonction f soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire X. On utilisera cette valeur de a pour la suite de l’exercice.
1.2. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X admettant la fonction f pour fonction densité de probabilité.
1.3. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X admettant la fonction f pour fonction densité de probabilité.
3 Taille d’un arbuste (chapitre 7)
3.1. Quelle est la probabilité que cette variable aléatoire X soit inférieure à sa médiane ?
3.2. Supposons dans un premier temps que 
(120 ; 25). Quelle est la probabilité qu’un arbuste tiré au hasard ait une hauteur comprise entre 95 et 145 cm ? Quelle est la probabilité qu’un arbuste tiré au hasard ait une hauteur supérieure à 150 cm ?
3.3. Dans un deuxième temps, on supposera que la hauteur moyenne d’un arbuste d’un an soit de 125 cm et que la probabilité que la hauteur d’un arbuste soit inférieure à 90 cm soit égale à 0,159. En déduire l’écart-type de X (en précisant l’unité).
3.4. Supposons dans un troisième temps que la variance de X soit égale à 900 cm2 et que la probabilité que la hauteur d’un arbuste soit supérieure à 190 cm, soit égale à 0,022. En déduire l’espérance de X (en précisant l’unité).
QCM
2 Nombre de naissances (chapitre 7)
(n ; 0,45)
(0,45 ; 0,2475n)
A La probabilité que parmi ces 10 naissances il y ait exactement 4 garçons est égale à 0,15957
B La probabilité que parmi ces 10 naissances il y ait au plus 3 garçons est égale à 0,26603
C La probabilité que parmi ces 10 naissances il y ait plus que 3 garçons est égale à 0,90044
D La probabilité que parmi ces 10 naissances il y ait entre 4 et 6 filles (bornes incluses) est égale à 0,63197
E La probabilité que parmi ces 10 naissances il y ait entre 4 et 6 garçons (bornes incluses) est égale à 0,63197
A On peut admettre que 
(7,04) approximativement
B On peut admettre que 
(90 ; 7,04) approximativement
C Avec la loi approchée adoptée, la probabilité que parmi ces 200 naissances il y ait plus que 76 garçons est égale à 0,977
D Avec la loi approchée adoptée, la probabilité que parmi ces 200 naissances il y ait entre 76 (inclus) et 104 (exclus) garçons est égale à 0,977
E Avec la loi approchée adoptée, la probabilité que parmi ces 200 naissances il y ait entre 76 (inclus) et 104 (exclus) garçons est égale à 0,954
121,58 mg/L
121,58 (mg/L)2
158,21 mg/L
158,21 (mg/L)2Chapitre 8 – Couples de variables aléatoires
