Biomathématiques

Pour une même pathologie, les effets de trois médicaments de la même famille chimique notés A, B, C ont été analysés. Pour chacun d’eux, la relation affine entre l’effet y du médicament (exprimé en %) et la dose d est ainsi obtenue :

– médicament A : y_A = 2 log d + 6

– médicament B : y_B = 2 log d + 2

– médicament C : y_C = 3 log d + 5,2

4.1 Quels sont les médicaments dont on a le droit de comparer les activités ?

A Les médicaments A, B et C

B Les médicaments A et B

C Les médicaments B et C

D Les médicaments A et C

E Aucun médicament n’est comparable aux autres

4.2 Calculer, si cela est possible, les rapports d’activité R_A/X avec X étant B ou C.

A X est le médicament B et R_A/B = 2

B X est le médicament C et R_A/C = 100

C Impossible

D X est le médicament B et R_A/B = 100

E X est le médicament C et R_A/C = 2

4.3 En terme d’efficacité :

A A est plus actif que B

B A est plus actif que C

C C est plus actif que B

D B est plus actif que A

E B est plus actif que C

Chapitre 2 – Calcul intégral

Exercices

Remarque : les exercices 1 et 2 regroupent quelques méthodes pour intégrer.

1 Calcul d’intégrales (chapitre 2)

Calculer les intégrales suivantes.

2 Calcul d’intégrales (chapitre 2)

2.1. Calculer de façon simultanée I_a = ∫ e^xcos x dx et I_b = ∫ e^xsin x dx.

2.2. Calculer l’intégrale

3 Étude d’une intégrale avec des paramètres (chapitre 2)

Soit l’intégrale I =, a et β étant des constantes réelles.

3.1. Discuter en fonction de β du domaine d’intégration de I, puis calculer cette intégrale en fonction de a.

4 Diffusion de médicament dans le sang (chapitre 2)

Un médicament administré par voie intraveineuse (IV) subit une diffusion vers les tissus périphériques en même temps qu’une élimination métabolique. Soit C_IV(t) la concentration du médicament dans le sang dont l’évolution en fonction du temps t est généralement décrite par un modèle à deux compartiments C_IV(t) = A exp(–αt) + B exp(–βt) où les deux termes exponentiels correspondent respectivement à la diffusion et à l’élimination du médicament. Dans le cas où la diffusion du médicament atteint rapidement l’équilibre, le modèle à un compartiment C_IV(t) = B exp(–βt) prévaut. Avec les données recueillies suivantes, on veut caractériser le modèle approprié pour C_IV.

4.1. À l’aide d’un papier semi-log, représenter sous la forme adéquate C_IV(t) en fonction du temps. En déduire le type de modèle à un ou deux compartiments à appliquer à C_IV(t).

4.2. Généralement, la constante de vitesse d’élimination β est inférieure à celle de la diffusion α (α > β > 0). Dans cette hypothèse, utiliser le tracé précédent pour caractériser le terme d’élimination.

4.3. Utiliser l’expression analytique du terme d’élimination pour déduire les valeurs correspondant au terme de diffusion.

4.4. Reporter sur papier semi-log les valeurs attribuées au terme de diffusion afin de caractériser l’expression analytique correspondante.

4.5. Si le médicament est pris oralement (PO), une absorption par digestion a lieu. Vu le modèle appliqué à la voie IV, la concentration du médicament disponible en circulation sanguine après une prise orale est : C_PO(t) = Q exp(– αt) + R exp(– βt) – S exp(– k_at), k_a étant la constante de vitesse du terme associé à l’absorption. Quelle est la relation liant les coefficients Q, R et S ?

4.6. Afin d’apprécier la quantité de médicament qui atteint la circulation générale et la vitesse avec laquelle elle l’atteint, on détermine la biodisponibilité. La biodisponibilité F pour le mode d’administration X par rapport au mode Y a pour formule : F = , où le terme AUC (area under curve) désigne l’aire sous la courbe représentant l’évolution de la concentration du médicament en fonction du temps, et le terme Dose la quantité administrée. Utiliser les expressions littérales de C_PO et C_IV pour calculer la biodisponibilité du médicament pris oralement qui est ici absolue car elle est déterminée par rapport à l’administration IV. On supposera que la même dose a été administrée dans les deux cas.

4.7. Le traitement des données mesurées suite à une prise orale a conduit aux valeurs suivantes pour le modèle : Q = 250, R = 132 et k_a = 2. Déterminer alors la biodisponibilité absolue du médicament pris oralement, sachant que la même dose a été administrée dans les deux cas.

QCM

1 Étude d’intégrales (chapitre 2)

On considère une fonction f symétrique par rapport à x = 0 et définie par :

1.1 Si A = 2 et k = 5, la représentation graphique de f(x) sur [– 2 ; 2] est :

1.2 Quelle relation doit-il avoir entre A et k pour que ?

2 Fractions rationnelles (chapitre 2)

2.1 Soient x₁ et x₂ les racines du polynôme x² + 2x – 3. L’une est évidente, x₁ = 1, l’autre x₂ est égale à :

A 2

B 3

C x₁ est une racine double, donc x₁ = x₂

D −3

E −2

2.2 Déduire les paramètres α₁ et α₂ vérifiant la relation Les paramètres α₁ et α₂ sont égaux à :

A α₁ = −1 et α₂ = 2

B α₁ = 1/4 et α₂ = −1/4

C α₁ = −1/4 et α₂ = 1/2

D α₁ = −1/2 et α₂ = 1/2

E α₁ = 1/2 et α₂ = 2

2.3 En utilisant la relation calculer .

3 Calcul approchant et exact d’une intégrale (chapitre 2)

Soit la fonction . On montre que .

3.1 Valider les propriétés de la fonction f :

A f est paire

B f est impaire

C f n’est ni paire ni impaire

D f est périodique

E f n’est pas périodique

3.2 La courbe représentant la fonction f admet une symétrie par rapport à :

3.3 Soient les points M(u, y) et C(m, 0) définis dans le repère R = (O, ,). Les coordonnées (v, z) du point M dans le repère R′ = (C, ,) sont :

3.4 Sachant que les coordonnées du point M sont liées par la relation y = f(u), la fonction g telle z = g(v) est liée à f par :

3.5 Valider les propriétés de la fonction g :

A g est paire

B g est impaire

C g n’est ni paire ni impaire

D g est périodique

E g n’est pas périodique

3.6 L’intégrale vaut :

3.7 On définit la fonction F(u) = P(U ≤ u) = alors F vérifie les relations :

A F(u) + F(2m − u) = 1

B F(u) − F(2m − u) = 1

C F(u) + F(2m − u) = 0,5

D F(u) − F(2m − u) = 0,5

E F(0) + F(2m) = 0,5

3.8 On pose m = 3. Les valeurs de f(u) sont données dans le tableau suivant.

Les valeurs de F(u) calculées par la méthode des trapèzes sont :

3.9 En effectuant les calculs nécessaires avec la méthode des trapèzes, le rapport entre l’intégrale et l’aire totale sous la courbe de la fonction f (entre − ∞ et + ∞) vaut :

4 Approximation de dérivée et d’intégrale (chapitre 2)

Les valeurs de la vitesse v du guépard à différents temps t sont indiquées dans le tableau suivant.

4.1 Les valeurs de l’accélération γ(t) du guépard sont évaluées le plus précisément possible en utilisant le développement de Taylor pour l’estimation de la dérivée : , h le plus petit possible.

L’accélération est alors :

A estimée au mieux par 3,8 ms⁻² à t = 4 s

B estimée au mieux par 4,75 ms⁻² à t = 4 s

C estimée au mieux par 3 ms⁻² à t = 6 s

D estimée au mieux par 2 ms⁻² à t = 8 s

E incalculable pour t = 1 s

4.2 La représentation des valeurs déterminées pour γ en fonction de t donne approximativement une droite d’équation :

A γ(t) = − 0,8t + 8 (en arrondissant à la première décimale)

B γ(t) = − 0,8t + 10 (en arrondissant à la première décimale)

C γ(t) = 0,8t + 8 (en arrondissant à la première décimale)

D γ(t) = 0,8t + 10 (en arrondissant à la première décimale)

E γ(t) = − 0,8t (en arrondissant à la première décimale)

4.3 Selon l’expression attribuée à γ(t), la distance parcourue x(t) entre l’instant 0 et l’instant t est :

A décrite par l’équation x(t) = − 0,4t²

B décrite par l’équation x(t) = − 0,4t² + 8t

C décrite par l’équation x(t) = − 0,4t² + 10t

D décrite par l’équation x(t) = − 0,13t³ + 4t²

E décrite par l’équation x(t) = − 0,2t³ + 5t² + 0,5t

4.4 Le calcul par la méthode des trapèzes de la distance parcourue à t = 8 secondes donne l’estimation suivante :

4.5 L’écart relatif à t = 12 s entre la distance évaluée par la méthode des trapèzes et la distance de 351,4 m obtenue par l’expression analytique de x(t) est :

Chapitre 3 – Équations différentielles

Exercices

1 Équation différentielle dépendant d’un paramètre (chapitre 3)

1.1. Résoudre l’équation différentielle y′ = x (y² + a), a étant une constante positive ou nulle.

2 Désintégrations radioactives (chapitre 3)

On considère la chaîne de désintégrations radioactives : A* → B* → C stable, dans laquelle l’isotope A se transforme en l’isotope B et l’isotope B se transforme en l’élément C stable. La loi de décroissance radioactive exprime que le nombre d’atomes radioactifs désintégrés pendant un petit intervalle de temps est proportionnel au nombre d’atomes présents au temps t. Le coefficient de proportionnalité est par définition la constante radioactive, strictement positive.

On appellera ces constantes radioactives λ_A pour l’isotope A et λ_B pour l’isotope B. On désignera par x(t) et y(t) les nombres respectifs d’atomes de A et de B présents au temps t et donc susceptibles de se désintégrer, x₀ = x(0) le nombre d’atomes de A au temps t = 0 et y₀ = y(0) = 0. On désignera z(t) le nombre d’atomes de C stables, créés au temps t par désintégration de B, et on pose z(0) = 0.

2.1. Donner l’expression de la loi de décroissance radioactive de A ; en déduire l’expression de x(t).

2.2. Comment exprimer le nombre d’atomes de B créés par désintégration de A et par unité de temps dt ? Comment exprimer le nombre d’atomes de B désintégrés par unité de temps dt ? Déduire des réponses précédentes que .

2.3. Donner les caractéristiques de l’équation différentielle . On appelle y_G la solution générale de l’équation sans second membre et y_P une solution particulière de l’équation avec second membre. Donner les expressions de y_G et de y_P. En déduire l’expression de y(t).

2.4. On rappelle que les atomes de C stables, au temps t, sont créés par désintégration de B. En déduire que .

Montrer que . Pour arriver à ce résultat on calculera (ici s est la variable muette d’intégration).

2.5. Montrer qu’on a bien x(t) + y(t) + z(t) = x₀. Vérifier cette propriété aux temps t = 0 et t → + ∞. Comment interpréter ce résultat ?

3 Modèle de Verhulst (chapitre 3)

Afin d’améliorer le modèle de Malthus, qui conduit à une croissance exponentielle des populations, le mathématicien belge Pierre-François Verhulst ¹ a proposé un modèle qui prenne en compte le fait qu’un environnement donné ne peut pas nourrir une infinité d’individus. Le but de cet exercice est d’étudier ce modèle.

On rappelle que le modèle de Malthus correspond à l’équation différentielle :

où α₀ est le taux de croissance de la population et N le nombre d’individus à l’instant t.

3.1. Pour que la population puisse décroître, il faut tenir compte de la mortalité. On note β(N) le taux de mortalité, positif, c’est-à-dire la fraction d’individus décédant à un instant donné. Si l’on tient compte de ce terme, que devient l’équation différentielle du modèle de Malthus ?

3.2. On suppose que β(N) est proportionnel au nombre d’individus présents dans le milieu (plus il y a d’individus, moins l’environnement leur est favorable donc plus ils décèdent). On note β₀ le coefficient de proportionnalité. Montrez que cela conduit à l’équation différentielle :

où K est une constante dont vous préciserez le signe et que vous exprimerez en fonction de α₀ et β₀.

3.3. Quelles sont les propriétés de cette équation différentielle ? En déduire une méthode de résolution possible. Existe-t-il des solutions évidentes ?

3.4. Quelle est la solution générale de cette équation différentielle ? Les solutions évidentes sont-elles retrouvées par cette solution générale ?

3.5. On suppose qu’il y a initialement N₀ individus. Quelle est la solution particulière de cette équation différentielle qui décrit l’évolution de cette population ?

3.6. Vers quelle valeur tend cette solution particulière ? En déduire la signification de la constante K.

3.7. L’évolution vers cette valeur finie est-elle monotone ?

3.8. À l’aide d’un développement limité à l’ordre 1 de la solution particulière ainsi trouvée et de la solution de l’équation différentielle du modèle de Malthus : à quelle condition peut-on considérer que les deux modèles donnent des résultats comparables ?

^1.1804–1849.

4 Diffusion de médicament entre le muscle et le sang (chapitre 3)

À l’instant t = 0, on réalise une injection intramusculaire supposée instantanée. On constate que le médicament se met à diffuser du muscle vers le sang, sa concentration diminuant dans le muscle. Les concentrations du médicament, M dans le muscle et S dans le sang, évoluent en fonction du temps t selon les équations (S(0) = 0) :

Les constantes k₂ et k₃ sont strictement positives.

4.1. Pour quelle raison la constante k₁ n’est pas nulle ?

4.2. Déterminer le signe de la constante k₁.

4.3. Donner l’équation différentielle décrivant l’évolution de M au cours du temps ne faisant plus intervenir S.

4.4. Montrer que l’équation caractéristique déduite de la question précédente admet deux racines réelles.

4.5. Montrer que les racines r₁ et r₂ de l’équation caractéristique sont négatives.

4.6. Donner l’expression de M au cours du temps en fonction de r₁ et r₂.

4.7. En déduire l’expression de S au cours du temps, en tenant compte des conditions initiales.

QCM

1 Méthode de Lagrange pour équation différentielle (chapitre 3)

Soit l’équation différentielle xy′ – 2y – x² = 0.

1.1 Cette équation différentielle est une :

A équation différentielle du premier ordre sans second membre

B équation différentielle linéaire du premier ordre avec (x) comme second membre

C équation différentielle linéaire du premier ordre avec (x²) comme second membre

D équation différentielle linéaire du premier ordre avec (2y) comme second membre

E équation différentielle du premier ordre avec (y′ − x) comme second membre

1.2 La solution y_g de l’équation sans second membre satisfait les relations :

D y_g = K x²

1.3 La solution générale y de cette équation avec second membre est :

C y = kx² + ln |x|

D y = k x² + x² ln |x|

2 Étude de la croissance bactérienne (chapitre 3)

On étudie le développement des bactéries E. coli dont l’effectif est noté N. On met en culture N₀ = 30 bactéries à 10 heures (t = 0), on admet que la croissance bactérienne commence seulement 10 minutes après la mise en culture et que le nombre de bactéries augmente proportionnellement au nombre N de bactéries présentes dans la culture.

2.1 L’équation différentielle régissant la croissance bactérienne pour t > 10 min est :

A N′ = kN avec k > 0

B N′ = kN avec k < 0

C N′ = 30 + (k − 10)N avec k > 0

D N′ = (k − 10)N avec k < 0

E N′ = k(N − N₀) avec k > 0

2.2 L’expression de N en fonction du temps t (avec t > 10 min) est :

A N = N₀ exp(k(t − 10))

2.3 En sachant qu’à 10 h 30, le nombre de bactéries a doublé, le nombre de bactéries en culture à 12 h sera compris ?

A Entre 1 000 et 1 100

B Entre 1 100 et 1 200

C Entre 1 200 et 1 300

D Entre 1 300 et 1 400

E Entre 1 400 et 1 500

3 Métabolisme de médicament (chapitre 3)

Un médicament M est administré par voie intraveineuse en une seule injection. On suppose que la durée de l’injection est négligeable et on admettra donc qu’à t = 0, la concentration de médicament dans le sang est égale à D₀ = 5 μM. Une partie du médicament est métabolisée vers un composé C. La vitesse de production de C est donc proportionnelle à la concentration D de M présente dans le sang avec une constante de vitesse k_m. L’autre partie du médicament est éliminée directement par les reins selon une autre cinétique de premier ordre. La vitesse d’élimination rénale est proportionnelle à la concentration D de M présente dans le sang avec une constante de vitesse k_r.

3.1 L’équation différentielle régissant la concentration D du médicament M dans le sang en fonction du temps est :

A une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre

B une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre

C une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre

D une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

E une équation différentielle non linéaire

3.2 L’expression de la concentration du médicament présente dans le sang pour tout instant t est égale à :

B D = exp(−(k_m + k_r)t) + D₀

C D = D₀exp((k_m + k_r)t)

D D = D₀exp(−(k_m + k_r)t)

E D = exp((k_m + k_r)t) + D₀

3.3 Sachant qu’à t = 30 min, la teneur de médicament M dans le sang est de 3 μM et que le rapport k_r/k_m = 2, on en déduit que :

A k_m ≈ 2,5 × 10⁻³ min⁻¹

B k_m ≈ 5,7 × 10⁻³ min⁻¹

C k_r ≈ 2,5 × 10⁻³ min⁻¹

D k_r ≈ 5,7 × 10⁻³ min⁻¹

E k_m ≈ 7,5 × 10⁻³ min⁻¹

4 Système d’équations différentielles du 1^er ordre (chapitre 3)

x et y sont deux fonctions dépendant du temps. Déterminer x(t) et y(t) en résolvant le système suivant avec x(0) = 1 et y(0) = 0 :

4.1 En combinant les deux équations et en éliminant une dérivée, on obtient une équation utile à la résolution du système :

4.2 L’équation différentielle décrivant la variation de x au cours du temps est :

4.3 L’équation différentielle décrivant la variation de x au cours du temps est :

A x(t) = A e^−t + B e^2t ou x(t) = λ cos t + μ sin 2t

B x(t) = e^0,5t(A e^1,5it + B e^−1,5it) ou x(t) = e^0,5t(λ cos 1,5t + μ sin 1,5t)

C x(t) = e^1,5t(A e^it + B e^−it) ou x(t) = e^1,5t(λ cos t + μ sin t)

D x(t) = A e^−0,5t + B e^−t ou x(t) = λ cos 0,5t + μ sin t

E x(t) = e^0,5t(A e^0,5it + B e^−0,5it) ou x(t) = e^0,5t(λ cos 0,5t + μ sin 0,5t)

4.4 Compte tenu de x(t), l’expression générale de y(t) est :

A y(t) = 2λ(sin t – 2 cos t) – 4 μ(sin 2t + cos 2t)

B y(t) = e^1,5t[(2λ – 7μ)sin t – (7λ + 2μ)cos t]

C y(t) = e^0,5t[(λ – 5μ)sin 0,5t – (5λ + μ)cos 0,5t]

D y(t) = λ(sin 0,5t – 4cos 0,5t) – 2 μ(2sin t + cos t)

E y(t) = e^0,5t[(3λ – 5 μ)sin 1,5t – (5λ + 3μ)cos 1,5t ]

4.5 Compte tenu des conditions initiales :

A x(t) = e^0,5t(cos 0,5t − 5 sin 0,5t) et y(t) = 26 e^0,5t sin 0,5t

B x(t) = e^0,5t(cos 1,5 t − sin 1,5 t) et y(t) = e^0,5t sin 1,5t

C x(t) = cos 0,5t – 2sin t et y(t) = sin 0,5t – 4cos 0,5t + 8sin t + 4cos t

D x(t) = cos t – sin 2t et y(t) = 2sin t – 4cos t + 4sin 2t + 4cos 2t

E x(t) = e^1,5t(cos t – 3,5sin t) et y(t) = 26,5 e^1,5t sin t

Chapitre 4 – Fonctions de plusieurs variables

Exercices

1 Entraînement à la dérivation partielle (chapitre 4)

On dit qu’une fonction f(x, y) est harmonique si et seulement si sur son domaine de définition. Ce type de fonction se retrouve dans de nombreux domaines de la physique, par exemple le potentiel électrostatique et le potentiel gravitationnel sont des fonctions harmoniques dans les régions vides de l’espace.

Démontrer que les fonctions suivantes sont harmoniques :

1.1. f(x,y) = e^− x cos y + e^− y cos x

1.2.

1.3. h(x, y) = ln (x² + y²)

2 Calcul d’incertitude (chapitre 4)

L’acide malonique est un diacide carboxylique de formule HOOC-CH₂-COOH. Ce composé a été découvert par l’étude de produits d’oxydation du jus de pommes. Ce composé est commun dans les fabriques de produits pharmaceutiques.

On s’intéresse au dosage d’un volume V_A d’une solution d’acide malonique A de concentration C_A par une solution de soude B de concentration C_B. On ne considère que la deuxième équivalence représentée par l’équation chimique simplifiée :

HOOC-CH₂-COOH + 2OH⁻ → ⁻OOC-CH₂-COO⁻ + 2H₂O

On admet la relation où V_B est le volume versé à l’équivalence.