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Comparaisons de proportions

I. Introduction

Cas d’échantillons indépendants

II. Comparaisons de proportions, cas gaussien

III. Comparaisons de proportions, cas non gaussien

Cas d’échantillons appariés

IV. Comparaison de deux proportions sur deux échantillons appariés

I Introduction

Nous abordons dans ce chapitre l’étude de variables qualitatives à deux modalités (ou classes) qui conduit à des résultats s’exprimant sous forme de proportions (ou pourcentages) ; ainsi on s’intéressera à la comparaison d’une proportion à une proportion de référence et à la comparaison de deux proportions sur deux échantillons indépendants ou sur deux échantillons appariés. Nous vérifierons les conditions d’approximation de la distribution de ces proportions par une loi normale. Nous présentons également l’étude de variables qualitatives à plus de deux modalités en utilisant les tableaux de contingence et en faisant appel à la loi du khi-deux. Comme dans le chapitre précédent nous décomposerons la procédure systématique de mise en œuvre des tests en six étapes. Il faut préciser tout d’abord les groupes à comparer et s’ils sont ou non indépendants. Il faut identifier la nature qualitative des variables d’intérêt, à deux ou plusieurs classes. Nous préciserons la loi suivie par la statistique de test, les conditions d’application du test, la mise en place des règles de décision, la réalisation de l’expérience, le calcul de la réalisation de cette statistique de test, la décision qui peut être envisagée, l’interprétation des résultats et la conclusion retenue. Nous illustrerons la procédure avec des exemples.

Approximation de la loi suivie par une variable pourcentage

Rappelons qu’à chaque individu d’un échantillon de taille n est associée une variable de Bernoulli (X_i, i = 1 à n) de paramètre π, probabilité de réaliser une des deux modalités qu’on qualifiera de « succès ». À condition que ces variables de Bernoulli soient indépendantes et identiquement distribuées, la somme de ces variables qui représente le nombre d’individus présentant un succès, suit une loi binomiale (n, π). La moyenne de cette variable somme est nπ et sa variance est nπ (1 − π). On présente souvent les résultats de l’étude de cette variable qualitative sous la forme de proportions (ou pourcentages). La loi de cette variable proportion peut être approchée par une loi normale si nπ ≥ 5 et n (1 − π) ≥ 5 ; la moyenne de cette loi normale vaut π et sa variance vaut π (1 − π)/n. On dira alors qu’on est dans le cas gaussien.

Cas d’échantillons indépendants

II Comparaisons de proportions, cas gaussien

Dans les trois premiers paragraphes de cette partie (A, B et C), on étudiera une variable qualitative à deux modalités et on sera amené à comparer deux proportions d’individus qui présentent une de ces deux modalités. Dans le dernier paragraphe (D), cette étude sera étendue aux variables qualitatives présentant plus que deux modalités, et donc à la comparaison de plusieurs proportions.

A Comparaison d’une proportion à une proportion de référence

1: Position du problème

Fig. 13.1 Comparaison d’une proportion à une proportion de référence. Position du problème.

À partir d’une proportion p_A observée dans un échantillon de taille n_A tiré d’une population A, que peut-on dire d’une éventuelle différence entre π_A la proportion théorique de la population A et π proportion de la population de référence ?

Nous allons tester si la différence δ = π_A − π est nulle. Nous supposerons que cette différence est bien nulle, c’est ce qu’on appelle l’hypothèse nulle H₀.

Nous supposerons que la proportion P_A, variable aléatoire proportion d’individus présentant cette modalité, suit approximativement une loi normale. Sous H₀, cette loi normale a une moyenne π_A = π et un écart-type :

L’estimation de δ est D = P_A − π.

Sous H₀, l’espérance de D : E(D) = E(P_A − π) = (π − π) = 0.

Pour construire une statistique de test de distribution connue, on réduit la variable D. Le critère de test devient : .

On calcule .

Sous H₀, compte tenu de l’approximation gaussienne précédemment citée, la variable aléatoire C est une variable U normale, centrée, réduite.

Prenons un exemple pour illustrer ce test.

2: Exemple Dans une enquête nationale, le taux de complications sévères survenues après une certaine intervention chirurgicale est de 10 %. On mesure ce taux de complications sévères dans un hôpital : pour 120 interventions réalisées, il est de 15 %. Peut-on conclure que le taux de complications sévères survenues dans l’hôpital étudié est significativement différent de celui observé dans l’enquête nationale, au risque α de 5 % ?

Pour tester une telle hypothèse nous pouvons faire appel à un test qui reviendra ici à comparer la proportion observée de complications sévères dans l’hôpital étudié, à la proportion théorique obtenue à partir de l’enquête nationale. Nous allons pour ce faire mettre en œuvre les six étapes du développement d’un test : formulation des hypothèses à tester, construction d’une statistique de test, choix d’un seuil α et construction de l’intervalle de pari de niveau 1 − α, mise en place de la règle de décision, recueil des données, calcul de la statistique de test et vérification des conditions de validité du test, enfin interprétation des résultats et conclusion.

3: Étapes de mise en œuvre du test statistique Nous reprendrons les six étapes que nous avons définies précédemment.

Étape 1 – Définition des hypothèses à tester: Les hypothèses en présence sont les suivantes :

• pour l’hypothèse nulle H₀ : le taux de complications dans l’hôpital étudié est égal à celui noté lors de l’enquête nationale ;

• pour l’hypothèse alternative H₁ : le taux de complications dans l’hôpital étudié est différent de celui noté lors de l’enquête nationale.

Plus formellement on peut écrire : hypothèse nulle : π_A = π ⇔ π_A − π = 0

Hypothèse alternative : π_A ≠ π ⇔ π_A − π ≠ 0.

Étape 2 – Construction de la statistique de test: La statistique de test peut être construite autour de la variable aléatoire U qui vaut :

Où, sous H₀, U suit approximativement une loi normale centrée réduite : U ~(0 ;1)_.

Étape 3 – Choix du seuil α et intervalle de pari: On choisit le risque α généralement égal à 5 %. On construit ensuite un intervalle de pari (IP) pour U de niveau 1 − α tel que, si H₀ est vraie :

En pratique, l’intervalle de pari est construit à partir de la table A pour la valeur retenue du risque α (fig. 13.2). Connaissant p, cette table donne la valeur de u_p, quantile d’ordre p, telle que :

Fig. 13.2 Lecture de la table A.

Pour α = 5 %, pour les deux valeurs de p, respectivement : p = 0, 025 et p = 1 − 0, 025 = 0, 975 on lit les deux valeurs correspondantes de u_α/2 et u_1 − α/2. Ces valeurs de u_p sont respectivement de − 1,960 et de + 1,960.

Ainsi, pour α = 0,05, l’intervalle de pari se situe entre [− 1,96 ; + 1,96].

Fig. 13.3 Délimitation de l’intervalle de pari pour une loi normale centrée réduite. Exemple pour α = 5 %.

Étape 4 – Construction de la règle de décision: La règle est construite autour de H₀. Le principe est de considérer a priori que H₀ est vraie. On étudie le degré de compatibilité de la valeur observée du paramètre sur l’échantillon avec sa valeur théorique :

• si u appartient à l’IP_1–α on ne rejette pas H_{0 ;}

• si u est en dehors de l’IP_1–α on rejette H₀ et on accepte H₁.

Figure 13.4 Construction de la règle de décision. Zones de rejet et de non-rejet de H₀.

On réalise alors l’expérience et on recueille les données.

Étape 5 – Recueil des données, vérification des conditions de validité du test, et calcul de la statistique de test: Les données de l’expérience fournies dans l’énoncé étaient les suivantes :

• pour l’échantillon son effectif et le pourcentage de complications sévères : n_a = 120 et p_A = 15 %;

• le pourcentage de référence de complications sévères : π = 10.%

Les conditions de validité sont telles que :

• n_A · π ≥ 5 ici : 0,10 · 120 = 12 ;

• et n_A · (1 − π) ≥ 5 ici : 0,190 · 120 = 108.

Les conditions de validité du test sont donc réunies.

Nous pouvons calculer u, réalisation de la variable aléatoire U :

Soit :

Étape 6 – Conclusion: La valeur de u est comprise dans l’intervalle de pari 1 − α, donc l’hypothèse nulle H₀ ne peut pas être rejetée au risque α.

Fig. 13.5 Conclusion.

On conclut donc que, pour l’hôpital concerné, le taux de complications sévères consécutives à un certain type de chirurgie n’est pas significativement différent de celui qui a été observé dans l’enquête nationale.

B Comparaison de deux proportions sur deux échantillons indépendants

1: Position du problème

Fig. 13.6 Comparaison de deux proportions. Position du problème.

Soient deux populations A et B desquelles ont été extraits deux échantillons de taille n_A et n_B respectivement. À partir des proportions p_A et p_B observées dans les deux échantillons, que peut-on dire d’une éventuelle différence entre les proportions théoriques π_A et π_B ?

Ici nous allons tester si la différence δ = π_A − π_B est nulle. Nous supposerons que cette différence est bien nulle sous l’hypothèse nulle appelée H₀.

Supposons que les proportions P_A et P_B, variables aléatoires de proportions d’individus présentant cette modalité dans les populations A et B, suivent approximativement une loi normale. Sous H₀, ces lois normales ont :

• une moyenne π_A = π_B = π₀ ;

• et un écart-type : et

L’estimation de δ est D = P_A−P_B.

Sous H₀, l’espérance de D : E(D) = E(P_A − P_B) = (π₀ − π₀) = 0.

Pour construire une statistique de test de distribution connue, on réduit la variable D. Le critère de test devient : .

On calcule ensuite la variance de la différence entre les proportions V(D) :

En effet, les deux échantillons étant indépendants, la covariance est donc nulle. La variance de la différence se réduit alors à la somme des variances.

Sous H₀, compte tenu de l’approximation gaussienne précédemment citée, la variable aléatoire C est une variable U normale, centrée, réduite.

Prenons un exemple pour illustrer ce test.

2: Exemple Dans une étude menée par l’Assurance maladie, le taux de complications sévères après une intervention chirurgicale est le suivant :

• chez 300 patients opérés dans des hôpitaux de grande taille (plus de 500 lits) il est de 8 % ;

• chez 100 patients opérés dans des hôpitaux de petite taille (moins de 500 lits) il est de 15 %.

Peut-on conclure que le taux de complications sévères dans les hôpitaux de grande taille diffère significativement de celui des hôpitaux de petite taille, au risque α de 5 % ?

3: Étapes de mise en œuvre du test statistique Mettons en place un test statistique de comparaison des taux de complications sévères entre les deux types d’hôpitaux, de grande taille et de petite taille. Utilisons la procédure en six étapes que nous avons déjà présentée.

Étape 1 – Formulation des hypothèses à tester: Formulons les deux hypothèses en présence, hypothèse nulle et hypothèse alternative.

• H₀ : le taux de complications sévères dans les hôpitaux de grande taille ne diffère pas de celui mesuré dans des hôpitaux de petite taille.

• H₁ : le taux de complications sévères dans les hôpitaux de grande taille est différent de celui mesuré dans des hôpitaux de petite taille.

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