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Comparaisons de moyennes

Introduction

    I. Cas d’échantillons indépendants

II. Comparaisons de moyennes, cas gaussien

III. Comparaisons de moyennes, cas des petits échantillons

    Cas de séries appariées

IV. Comparaison de deux moyennes sur séries appariées, cas gaussien

V. Comparaisons de moyennes sur séries appariées, cas de petits échantillons

I Introduction

Nous abordons d’abord dans ce chapitre la comparaison d’une moyenne à une moyenne de référence et la comparaison de deux moyennes pour deux échantillons indépendants. L’objet est de décomposer la procédure systématique de mise en œuvre des tests en six étapes. Il faut préciser tout d’abord le nombre de groupes à comparer et s’ils sont ou non indépendants. Il faut aussi identifier le type de variable examiné et sa distribution, ainsi que la taille de l’échantillon. Celle-ci oriente soit vers de grands échantillons pour lesquels une approximation de la distribution de la moyenne par une loi normale est envisageable, soit vers de petits échantillons (taille < 30) pour lesquels cette approximation n’est plus appropriée. Nous préciserons la loi suivie par l’écart réduit, les conditions d’application du test, la mise en place des règles de décision, la réalisation de l’expérience, le calcul de la réalisation de la statistique de test, la décision qui peut être envisagée, l’interprétation des résultats et la conclusion retenue. Nous illustrerons la procédure avec des exemples.

Nous évoquerons enfin le cas particulier des séries appariées, c’est-à-dire lorsque les échantillons comparés ne sont pas indépendants.

Cas d’échantillons indépendants

II Comparaisons de moyennes, cas gaussien

Pour les échantillons de grande taille que nous avons définis (taille ≥ 30) nous présenterons d’abord la comparaison d’une moyenne à une moyenne de référence, puis la comparaison de deux moyennes.

A Comparaison d’une moyenne à une moyenne de référence

1: Position du problème À partir des éléments observés dans un échantillon tiré d’une population A que peut-on dire d’une éventuelle différence entre l’espérance μ_A de la population A, et μ celle de la population de référence ?

Figure 12.1 Comparaison d’une moyenne à une moyenne de référence.

On suppose que la moyenne X_A variable aléatoire, moyenne de l’échantillon A, suit une loi normale d’espérance μ_A et d’écart-type .On ne connaît pas μ_A mais on connaît μ et on suppose . On souhaite tester si : δ = μ_A − μ = 0.

On fait l’hypothèse que sous H₀ : δ = 0.

D = () est une variable centrée d’espérance :

et de variance (D) = V(D) = V.

Si σ est inconnu, et estimé par S, alors V(D) est estimé par .

Pour construire une statistique de test, de distribution connue, on réduit la variable D. La statistique de test devient C = . Lorsque σ est inconnu, la statistique de test devient :

La statistique de test C, pour ces grands échantillons, suit sous H₀ :

• une loi normale centrée réduite si est connue ;

• une loi de Student à n_A−1 degrés de liberté si σ₂ est inconnue et que X_A est normale. Dans ce cas, puisque n_A est grand, cette loi de Student est approximée par une loi normale.

2: Exemple L’espérance du poids de naissance de nouveau-nés de mères multipares (ayant accouché plus d’une fois) non diabétiques est de 3 400 g. On étudie un groupe de 30 nouveau-nés de mères diabétiques : le poids de naissances des nouveau-nés est en moyenne de 3 600 g (écart-type : 600 g). Peut-on conclure que le poids de naissance des nouveau-nés de mères diabétiques est significativement différent de celui des nouveau-nés de mères multipares, au risque α de 5 % ?

3: Étapes de mise en œuvre du test statistique Nous reprendrons les six étapes que nous avons définies dans le chapitre précédent.

Étape 1 – Définition des hypothèses à tester: Définissons l’hypothèse nulle H₀ et l’hypothèse alternative H₁ :

• H₀ : le poids de naissance des enfants de mères diabétiques n’est pas différent de celui de mères multipares non diabétiques ;

• H₁ est l’hypothèse que l’on veut démontrer : le poids de naissance des enfants de mères diabétiques est différent de celui de mères multipares non diabétiques.

Plus formellement on peut écrire :

• pour l’hypothèse nulle : μ_A = μ ⇔ δ = μ_A − μ = 0.

• pour l’hypothèse alternative : μ_A ≠ μ ⇔ δ = μ_A − μ ≠ 0.

Étape 2 – Construction d’une statistique de test: On suppose H₀ vraie. On cherche à définir une variable aléatoire C dont on connaisse la distribution, si H₀ est vraie, et on construit un intervalle de pari de sa réalisation c. La statistique de test est dans ce cas de grand échantillon définie par la variable aléatoire U avec :

qui suit sous H₀ : approximativement une loi normale centrée réduite puisque n_A est grand, et inconnue, estimée par .

Étape 3 – Choix du seuil α et intervalle de pari: En pratique, l’intervalle de pari est construit à partir de la table de l’annexe A¹ pour la valeur retenue du risque α.

La distribution de U : soit U une variable aléatoire de distribution normale centrée réduite d’espérance μ = 0 et d’écart-type σ = 1. La table de l’annexe A donne, connaissant p, la valeur de u_p (quantile d’ordre p) telle que :

La lecture de la table A se fait de la façon suivante. Si p < 0,5 alors u_p est inférieur à 0. La valeur est l’opposée de la valeur lue dans la table. Ici pour p = 0,025, on lit u_p = 1,960. Sa valeur est donc de − 1,960.

Si p> 0,5 alors u_p est > 0. La valeur de u_p est celle lue dans la table. Ici pour p = 0,975 on lit u_p = 1,960.

Construction de l’intervalle de pari au risque 1 − α . Dans notre exemple, pour α = 5 %, l’intervalle de pari est situé selon la lecture de la table entre les deux bornes [− 1,96 ; + 1,96] et peut être représenté par le schéma suivant (fig. 12.4).

Fig. 12.2 Lecture de la table A. Cas où p < 0,5.

Fig. 12.3 Lecture de la table A. Cas où p > 0,5.

Fig. 12.4 Construction de l’intervalle de pari avec α = 5 %.

Étape 4 – Mise en place de la règle de décision: La règle est construite autour de H₀. Le principe est de considérer a priori que H₀ est vraie. La valeur de u calculée est :

On étudie le degré de compatibilité (principe de vraisemblance) de la valeur observée du paramètre sur l’échantillon avec sa valeur théorique. On peut représenter l’intervalle de pari et la zone correspondante de non-rejet de H₀, et les deux zones latérales de rejet de H₀ :

• si u appartient à l’IP_1−α on ne rejette pas H₀ ;

• si u est en dehors de l’IP_1−α alors on rejette H₀ et on accepte H₁.

Fig. 12.5 Mise en place de la règle de décision. Zones de non-rejet et de rejet de H₀.

Étape 5 – Recueil des données, vérification des conditions de validité du test, et calcul de la statistique de test: On réalise l’expérience. On recueille les données.

Les données pour l’échantillon sont respectivement, son effectif : n_A = 30, sa moyenne : = 3 600 g, et sa variance : = 36·10⁴ g².

Pour la population de référence la moyenne théorique est notée μ = 3 400 g.

Vérifions les conditions d’application du test : ici l’effectif est égal à 30. Le cas des grands échantillons peut être retenu. Il n’y a pas d’hypothèse de normalité de la distribution de la variable dans la population. En effet, l’hypothèse porte sur la distribution de la moyenne.

Fig. 12.6 La valeur de u est comprise dans la zone de non-rejet : H₀ ne peut pas être rejetée au risque α.

Calcul de u, réalisation de la variable aléatoire U :

La valeur de u est comprise dans l’intervalle de pari 1 − α, donc H₀ ne peut pas être rejetée au risque α.

Étape 6 – Conclusion: On conclut que le poids de naissance moyen des nouveau-nés de mères diabétiques n’est pas significativement différent de celui des nouveau-nés de mères non diabétiques multipares, au risque α de 5 %.

Dans cet exemple, que se passerait-il si les mêmes résultats avaient été obtenus à partir d’un échantillon de 50 sujets (au lieu de 30) ?

La nouvelle valeur de u devient dans ce cas :

La valeur de u est ici supérieure à 1,96 (au risque α de 5 %). On peut alors rejeter H₀ et accepter H₁. On conclura que le poids de naissance moyen des nouveau-nés de mères diabétiques est significativement différent de celui des nouveau-nés de mères non diabétiques multipares, au risque α de 5 %. La puissance du test est ainsi plus élevée avec 50 sujets qu’avec 30 sujets.

Remarque sur la puissance du test : ainsi, comme nous l’avions noté précédemment, la puissance augmente avec la taille de l’échantillon. Plus exactement, l’augmentation de la précision est proportionnelle à la racine carrée de l’effectif. Ainsi, pour une précision 10 fois meilleure, il faudrait inclure 100 fois plus d’individus.

B Comparaison de deux moyennes

1: Position du problème Il s’agit dans ce cas de comparer des moyennes à partir de deux échantillons. À partir des éléments observés dans deux échantillons A et B que peut-on dire d’une éventuelle différence entre l’espérance μ_A de la population A et μ_B celle de la population B ?

Fig. 12.7 Comparaison des deux moyennes : position du problème.

2: Exemple Un chercheur soumet deux groupes de 50 rats à deux régimes alimentaires A et B différents. Il souhaite comparer les poids moyens des rats dans les deux groupes à l’issue du régime. Sa question est ainsi formulée : les poids moyens des rats sont-ils différents au décours des deux régimes alimentaires ? Le risque α retenu est ici de 5 %.

Le poids moyen des animaux à la fin de l’expérience est fourni tableau 12.I. Les échantillons sont indépendants.

Tableau 12.I

Exemple : comparaison de deux moyennes, grands échantillons.

	A	B
Effectif	50	50
Poids moyen (g)	200	240
Variance estimée du poids (g2)	2 000	3 000

Afin de comparer les poids moyens des rats à l’issue des deux régimes alimentaires A et B, on réalisera un test statistique comparant les moyennes des poids, obtenues dans les deux échantillons indépendants d’animaux.

Le nombre de groupes à comparer est de deux. Les séries sont indépendantes. La variable poids est quantitative. La distribution des poids moyens est gaussienne. Il s’agit de grands échantillons, d’effectifs supérieurs à 30. Notre objectif est de réaliser un test d’hypothèses.

3: Étapes de mise en œuvre du test statistique Nous allons dérouler pour cet exemple les six étapes de mise en œuvre d’un test présentées précédemment.

Étape 1 – Définition des hypothèses à tester: Définissons l’hypothèse nulle H₀ et l’hypothèse alternative H₁ :

• H₀ : dans cette expérience, le poids moyen à l’issue du régime A n’est pas différent de celui constaté après le régime B ;

• H₁ : dans cette expérience, le poids moyen à l’issue du régime A est différent de celui constaté à l’issue du régime B.

Plus formellement on peut écrire :

• hypothèse nulle H₀ : μ_A = μ_B ⇔ δ = μ_A − μ_B = 0.

• hypothèse alternative H₁ : μ_A ≠ μ_B ⇔ δ = μ_A − μ_B ≠ 0.

On suppose H₀ vraie. On cherche à définir une variable aléatoire U dont on connaisse la distribution, si H₀ est vraie, et l’on construit un intervalle de pari de sa réalisation u.

Étape 2 – Construction de la statistique de test:

• Sous H₀ : μ_A = μ_B.

Cela signifie que les deux échantillons ont la même espérance que celle de la population avec : μ_A = μ_B = μ

E(D) = E

Les deux échantillons étant indépendants, la variance de la différence D est la somme des variances de et de .

Donc V(D) = V

est estimée par et V () est estimée par .

La statistique de test est alors définie par la variable aléatoire U :

U suit sous H₀ exactement une loi normale centrée réduite si les X_i sont gaussiens et si et sont connues. Elle suit approximativement une loi normale centrée réduite si n_A et n_B sont grands quelle que soit la loi des X_i, et de variances inconnues estimées par et .

Les conditions d’application du test sont : d’une part de disposer d’effectifs supérieurs ou égaux à 30 ; d’autre part, de disposer d’échantillons indépendants. C’est le cas dans cet exemple.

Étape 3 – Choix du seuil α et intervalle de pari: En pratique, l’intervalle de pari est construit à partir de la table de l’annexe A pour la valeur retenue du risque α. La distribution de U et la construction de l’intervalle de pari ont déjà été présentées dans le paragraphe II.A.3. Étapes de mise en œuvre du test statistique (page 302).

Étape 4 – Mise en place de la règle de décision: La règle est construite autour de H₀. Le principe est de considérer a priori que H₀ est vraie. La valeur de u calculée est :

On étudie le degré de compatibilité (principe de vraisemblance) de la valeur observée du paramètre sur l’échantillon avec sa valeur théorique :

• si u appartient à l’IP_1−α on ne rejette pas H₀ ;

• si u est en dehors de l’IP_1−α alors on rejette H₀ et on accepte H₁.

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