Chapitre 11 Circuits RC, RL, RLC

L’ESSENTIEL

Dipôle RC

Caractéristiques d’un condensateur

Constitution : deux armatures métalliques séparées par un isolant électrique dénommé diélectrique.

Charge q=q_{A :} q_A + q_{B = 0 et}.

Tension u_C : u_C = u_AB, avec q = C ∙ u_C.

Capacité C :

– grandeur positive qui relie charge et tension ;

– C est inversement proportionnelle à la distance d entre les armatures.

Énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C :

Unités SI : C en farad (F), Q en coulomb (C), U en volts (V), I en ampères (A), t en secondes (s), E_él en joule (J).

Capacité du condensateur équivalent à une association de condensateurs :

– en parallèle :

– en serie :

Charge d’un condensateur

Charge et tension varient de façon continue.

Avec un générateur idéal de courant I : et

Avec un générateur idéal de tension E, u_G = E :

Le produit τ = R · C est la constante de temps du dipôle RC.

Régime transitoire de charge :

Régime permanent : la charge du condensateur est constante, donc i = 0 et u_c(t)=E.

Décharge d’un condensateur

Avec : u_C(t = 0) = E.

On enlève le générateur du circuit précédent et on choisit i < 0 :

Régime transitoire de décharge :

Dipôle RL

Le courant qui traverse la bobine varie de façon continue.

Caractéristiques d’une bobine

Constitution : enroulement d’un fil conducteur entouré d’une gaine isolante.

Résistance interne de la bobine : la résistance r du fil ; la bobine est idéale si r = 0.

Inductance L de la bobine : grandeur positive en henry (H) dont la valeur dépend des paramètres géométriques de la bobine (sa longueur, le nombre de spires, la surface de chaque spire).

L’inductance relie tension et courant.

Tension aux bornes d’une bobine (L, r) : et

Énergie stockée par une bobine traversée par un courant d’intensité i :

Associations en série de bobines (L_i, R_i) :

Établissement du courant avec un générateur idéal de tension

Un générateur idéal de courant ne convient pas, car il y aurait alors une discontinuité du courant au moment de la fermeture du circuit. On pose : R = r + r’.

Constante de temps du dipôle RL :

Régime transitoire :

Régime permanent :

Circuits RLC en régime libre

Un circuit RLC fonctionnant en régime libre comporte un condensateur C, une bobine (L, r) et un conducteur ohmique r’. On note R la résistance équivalente du circuit : R = r + r’.

Un tel circuit est alors libre d’osciller avec sa fréquence propre f_o ; il ne peut pas comporter de générateur basse fréquence qui lui imposerait sa fréquence d’oscillations.

Différents régimes libres

Deux familles de régimes libres sont possibles suivant la valeur de R par rapport à une valeur critique

régime oscillant, pouvant être périodique si R = 0 (oscillations libres) ou pseudopériodique (oscillations libres amorties) si R < R_c ;

régime apériodique si R ≥ R_c.

Oscillations libres

Équation différentielle dans le cas d’un circuit RLC

Le courant i arrive sur l’armature de charge q :

Équation différentielle de la tension u=u_c:

Circuit idéal : oscillations libres non amorties (R = 0)

Équation différentielle de type oscillateur harmonique : avec

Solution générale de la forme :

La pulsation propre ω₀ (en rad ∙ s⁻¹) est donnée par l’équation différentielle.

On en déduit la période propre

L’amplitude u_m (de même unité que u) et la phase à l’origine ϕ (en radians) sont déterminées à l’aide de deux conditions initiales, le plus souvent concernant d’une part u ou q et d’autre part i

Circuit faiblement amorti : pseudo-oscillations

L’amplitude des pseudo-oscillations diminue d’autant plus vite que la valeur de R est grande et la période T des pseudo-oscillations augmente avec R : T > T₀.

Bilan énergétique

Transferts d’énergie dans un circuit RLC entre condensateur et bobine

Dans le cas d’un circuit idéal, il y a conservation de l’énergie électromagnétique :

L’énergie électrique et l’énergie magnétique oscillent avec la même période :.

Entretien des oscillations

But : compenser en permanence les pertes par effet Joule à cause de R.

Moyen : insérer dans le circuit un dipôle D qui apporte de l’énergie.

Exemple de montage : on note u _D la tension aux bornes du dipôle D :

d’où le nom de dipôle à résistance négative.

S’ENTRAÎNER

QCM

Selon les questions, une ou plusieurs bonnes réponses sont possibles ; seules les réponses entièrement justes seront prises en compte. Sauf indication particulière, le temps pour chaque question est de 3 minutes, correspondant à 1 point par question.

Deux condensateurs de capacités respectives C₁ = 30 μF et C₁ = 60 μF sont montés en série avec une résistance R = 10 Ω. Les deux condensateurs étant initialement déchargés, on branche l’ensemble aux bornes d’un générateur de f.e.m. E = 12 V et de résistance interne r = 2 Ω.

Quelle est la constante de temps τ du circuit ?

A. 9,0 ∙ 10⁻⁴ s.

B. 2,0 ∙ 10⁻³ s.

C. 2,4 ∙ 10⁻⁴ s.

D. 1,1 ∙ 10⁻³ s.

Dans le circuit précédent, quelle sera la tension aux bornes du condensateur C₂ au bout d’un temps τ après le branchement ?

A. 1,69 V.

B. 2,53 V.

C. 1,26 V.

D. 0,89 V.

Les questions 3 à 6 sont reliées entre elles.

Un condensateur de capacité C = 5 μF est initialement chargé sous une tension E = 10 V, puis il est branché aux bornes d’une bobine d’inductance L et de résistance R. À L’aide d’un oscilloscope, on recueille la tension u_C(t) aux bornes du condensateur.

On note ainsi les valeurs maximales U_m de u_C(t) pour les premières oscillations :

Quelle est la pulsation des oscillations ?

A. 393 rad ∙ s⁻¹.

B. 313 rad ∙ s⁻¹.

C. 785 rad ∙ s⁻¹.

D. 556 rad ∙ s⁻¹.

Quelle est, en henry, la valeur de l’inductance L de la bobine dans le circuit précédent ?

A. 0,32 H.

B. 0,46 H.

C. 0,58 H.

D. 0,65 H.

Quelle est, en microjoules, l’énergie perdue par le circuit précédent pendant les deux premières oscillations ?

A. 380 μJ.

B. 30 μJ.

C. 60 μJ.

D. 190 μJ.

Quelle est la valeur en ohms de la résistance R de la bobine, sachant que la valeur maximale U_m(t) de la tension u_C(t) vérifie l’équation : u_C(t) = 10e^−λt avec λ = R/2 L ?

A. 14,6 Ω

B. 29,2 Ω

C. 43,8 Ω

D. 58,4 Ω

Parmi les affirmations suivantes, combien y en a-t-il d’exactes ?

1. La décharge d’un condensateur à travers une résistance est d’autant plus rapide que la constante de temps est grande.

2. Pour augmenter la constante de temps τ d’un circuit RC, on peut diminuer la capacité d’un condensateur.

3. La constante de temps τ est le temps au bout duquel la charge et la décharge d’un condensateur sont réalisées à 63 %.

4. Lorsque l’on écarte les armatures d’un condensateur plan électriquement isolé, l’énergie emmagasinée par le condensateur diminue.

5. Dans un circuit RC, l’intensité i du courant s’annule lorsque la charge condensateur est terminée.

A. 0.

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