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Fonction d’une variable réelle : y=f(x)
II. Propriétés de base des fonctions réelles
III. Différentielle de fonction
V. Et si on voulait représenter 
?
VI. Étude des fonctions exponentielle et logarithmique
VII. Représentation graphique : les échelles arithmétique, logarithmique, et le papier semi-logarithmique
VIII. Applications biologiques de ces fonctions
, ont déjà été bien étudiées au lycée.I Exemple pharmaceutique
Nous allons présenter le modèle de l’évolution de la concentration plasmatique C(t) d’un médicament en fonction du temps (t) ; ici, C(t) et (t) prennent des valeurs positives ou nulles.
Nous travaillerons avec le modèle suivant :
• la concentration en produit est homogène dans le sang ; l’expérience permet de suivre les variations de cette concentration plasmatique ;
• après injection unique par voie intraveineuse, l’arrivée du médicament dans le sang est quasi immédiate. L’évolution de la concentration du médicament dans le sang est donc liée à l’élimination du médicament seulement. On définit la vitesse d’élimination par le quotient de la variation de concentration sur la variation du temps ; nous verrons dans ce chapitre que ce quotient exprime la dérivée C′(t). L’expérience montre que la vitesse d’élimination est souvent proportionnelle à la concentration. Si on appelle k constante positive, ce coefficient de proportionnalité alors on peut écrire 
.
Nous apprendrons dans le chapitre 3 à trouver l’expression de C(t) qui satisfait cette équation, mais on peut intuitivement proposer 
puisqu’on vérifie que 
• après un prise orale, la concentration du médicament dans le sang dépend de deux mécanismes : d’une part, une élimination vers les tissus ou les organes d’excrétion, représentée, comme pour la voie intraveineuse, par une exponentielle 
avec s constante de vitesse de cette phase de sortie ; d’autre part, une absorption d’origine intestinale, représentée là encore par une exponentielle 
avec n constante de vitesse de cette phase d’absorption. Ces deux mécanismes d’entrée-sortie ont lieu simultanément, et ils sont opposés ; la concentration sanguine, à chaque instant t sera proportionnelle à la différence de ces deux exponentielles. Soit A le coefficient de proportionnalité, alors on peut écrire 
.
où D est la dose de médicament absorbée. L’expression qui modélisera C(t) devra conduire à des valeurs positives, or son signe dépend du signe :• de A, donc de 
: A > 0 si n > s et A < 0 si n < s ;
• des valeurs relatives des deux exponentielles : e–st > e–nt si n >s et e–st > e–nt si s >n.
conduira dans tous les cas à des valeurs de C(t) ≥ 0.Nous présentons dans le tableau suivant les valeurs de C(t) pour n > s avec :
A = 10 mg/L, s = 1 h−1 et n = 4 h−1.
Tableau 1.I
Valeurs de cette fonction C(t) pour A = 10, s = 1 et n = 4.
(Temps en h, s et n en h−1, concentrations et A en mg/L)
C’est par l’étude des dérivées de C(t) qu’on pourra expliquer ces comportements.
Cette courbe est un modèle pour décrire, après une prise orale, les deux processus opposés d’absorption et d’élimination du médicament.
Lorsqu’on réalise une expérience de mesures de concentration plasmatique de médicament, celles-ci ne suivront pas exactement cette courbe théorique. Dans la figure 1.3, les données expérimentales (×) sont légèrement différentes, modifiées par l’erreur expérimentale et le caractère simplificateur du modèle.
II Propriétés de base des fonctions réelles
, puisque, lorsqu’on mène une étude analytique, hors de tout contexte d’application, on peut utiliser n’importe quelles lettres pour la variable et la fonction.A Comportement aux bornes du domaine de définition D
Domaine de définition D
C’est l’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer une valeur de la fonction 
. Le domaine dans lequel cela conserve un sens biologique d’étudier la fonction f(x) peut être différent de D, mais il est nécessairement inclus dans D.
aux bornes de D. Les recherches des asymptotes, les règles opératoires concernant les limites de sommes, de produits, ou de quotients dont on connaît les limites finies ou infinies, ne seront pas détaillées ici.Les asymptotes
Une droite est asymptote à la courbe représentative C de 
si elle se rapproche infiniment de C sans jamais la couper.
, alors la droite horizontale d’équation 
est asymptote horizontale en ± ∞, à C. Si 
, alors la droite verticale d’équation 
est asymptote verticale en a, à C. Si 
, alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique en ± ∞, à C.Limites des fonctions et opérations élémentaires
On transforme l’écriture de f(x) pour se ramener à des fonctions plus simples dont on connaît les limites. Supposons 
et 
. La 
, cette somme est indéterminée si A et B prennent des valeurs infinies de signes opposés. La 
, ce produit est indéterminé si A prend une valeur infinie et B une valeur nulle ou l’inverse (A prend une valeur nulle et B une valeur infinie). La 
, on applique la règle des signes d’un quotient à A/B ; ce quotient est indéterminé si A et B prennent tous deux une valeur infinie, ou si A et B prennent tous deux une valeur nulle.
Lorsqu’on obtient une forme indéterminée, comme 
, l’application de la règle de l’Hospital permet de lever l’indétermination : en effet, on montre que dans ce cas 
.
B Parité
D Continuité
La fonction est continue en x0 si « sur le graphe, il n’y a pas de saut en x0», ou encore f(x) est continue sur une partie de D si et seulement si, pour toute valeur x0 de cette partie de D, on a 
.
.
, alors que la 
.
et la 
, ces deux limites sont donc différentes. Cette fonction est discontinue à gauche et continue à droite car la valeur f(xi) est atteinte lorsque x → xi par valeurs supérieures.Cette propriété se retrouvera dans le chapitre 6, dans le graphe en escalier représentant les probabilités cumulées d’une variable discrète.
La notion similaire de fonction discontinue à droite et continue à gauche existe aussi.
E Dérivée
La dérivée en un point x0 d’une fonction, c’est la valeur limite du taux d’accroissement (fig. 1.6) de cette fonction en x0.
On reconnaît le coefficient directeur de la droite AB.
Δf est alors proportionnel à Δx.
Une fonction dérivable en x0 est continue en x0.
.2 Quelques propriétés
La dérivée d’une fonction périodique est une fonction périodique de même période
4 Tableau des principales dérivées
Tableau 1.II
| f(x) | f′(x) |
| xn ∀ n réel | nxn−1 |
| ex | ex |
| In|x| | 1/x |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1 + tg2x |
6 Dérivées successives
La fonction dérivée f ′(x) peut admettre à son tour une fonction dérivée, qu’on appellera dérivée seconde f ′′(x), etc.
u.
D = 
+ pour f(x)
f(x) =[ f(x)]2 + 1 = x + 1 D = 
+
D = 
u(x) = 1 + x2
u′(x) = 2x 
F Applications de ces propriétés à la fonction C(t) = A × (e−st − e−nt)
Cette fonction n’est ni paire, ni impaire, elle n’est pas périodique, elle est continue et dérivable en tout point. À partir des formules du tableau 1.II, des opérations de dérivation et des dérivations composées, on obtient :
• 
: elle représente la variation de la fonction C(t) au cours du temps ;
• 
: elle représente la variation de la dérivée C′(t) au cours du temps.
III Différentielle de fonction
Soit une fonction f(x) dérivable en x0 et h un accroissement arbitraire de x :
À cet accroissement h de la variable est associée une variation Δf(x) = f(x) − f(x0) de la fonction. Sur la figure 1.7 sont portées la courbe représentative de f(x) et la tangente AM en x0 à cette courbe. Le point M est l’intersection de cette tangente avec la droite (BC) ; sur la figure 1.7, on lit 
et 
.
; on néglige donc le segment MB. Or, 
. On en déduit que, quand h → 0, 
, donc Δf(x) ≈ f ′(x0) × h.Donc, on peut écrire df = f ′(x) × dx.
Les termes df et dx sont des grandeurs infinitésimales.
On en déduit une nouvelle notation de la dérivée :
Cette notation permet une autre écriture de la dérivée des fonctions composées :
; on applique l’opérateur dérivée seconde 
. Si les dérivées successives existent jusqu’à l’ordre n, alors cette relation peut se généraliser : 
.Définition d’un opérateur
Un opérateur est un « objet » qui transforme une fonction en une autre fonction. Par exemple, l’opérateur dérivée 
est l’objet qui transforme une fonction f(x) en sa dérivée puisque 
.
à la fonction f(x) puisque 
.A Notations différentielles
Soient u et v deux fonctions de x.
Différentielle d’un produit: Proposons une interprétation géométrique et représentons ce calcul de différentielle d(uv) par le calcul de la petite variation de l’aire d’un rectangle de dimensions u et v.
L’aire initiale A est égale à uv.
d(A) = (u + du) × (v + dv) − uv = (uv + udv + vdu + du ⋅ dv) − uv.
Si du et dv sont très petits, alors on peut négliger le produit du ⋅ dv (« erreur »).
d(A) ≈ udv + vdu ; on en tire :
On peut refaire ce calcul à partir des dérivées :
f(x) = u(x)v(x) f ′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x).
df = f ′(x)dx = (u′(x)v(x) + u(x)v′(x))dx = v(x)u′(x)dx + u(x)v′(x)dx df = vdu + udv.
.B Applications de la notation différentielle à la fonction C(t) = A × (e−st − e−nt)
, soit dC(t) = A(− s ⋅ e− st + n ⋅ e− nt)dt.
Entre les temps t0 = 0,1 h et t1 = 0,2 h, soit pour une variation Δt = 0,1 h, on lit dans le tableau 1.I ΔC = 3,7 − 2,3 = 1, 4 mg/L : comparons cette valeur avec la différentielle dC(t).
On utilise les notations de la figure 1.9 et on calcule la dérivée au temps t0 = 0,1 h :
et 
avec h = Δt = 0,1 h etOn en déduit 
qui représente la différentielle dC(t).
, ce qui représente l’erreur que l’on fait en approximant la variation de la concentration entre les temps t0 = 0,1 h et t1 = 0,2 h par la différentielle de la fonction en t0 = 0,1 h. Cette erreur n’est pas négligeable car Δt = 0,1 h n’est pas très petit, de plus cette approximation a été réalisée dans la première partie de la courbe où la concentration varie rapidement avec le temps.
.
traitée précédemment ; on calcule 
